Prove que a bissetriz relativa à base de um triângulo isósceles é também mediana.

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja o triângulo isósceles ABC com AB = AC e base BC. Traçamos a bissetriz interna do ângulo ang<= BAC, que intercepta BC em D. Queremos mostrar que D é o ponto médio de BC, ou seja, que BD = DC. Para isso, vamos usar o critério de congruência Lado–Ângulo–Lado (LAL).

Passo 2

Considere os triângulos ABD e ACD:
  • AB = AC (hipótese de isósceles),
  • ang<= BAD = ang<= CAD (definição de bissetriz),
  • AD = AD (lado comum).
    Portanto, pelos critérios LAL, temos
triang<= ABD cong triang<= ACD

Passo 3

Da congruência dos triângulos segue que os lados correspondentes são iguais, em particular
BD = DC
Isso mostra que D é o ponto médio de BC e, portanto, AD é mediana no triângulo ABC.

Resposta

A bissetriz do ângulo ang<= BAC num triângulo isósceles ABC coincide com a mediana, pois divide a base BC em dois segmentos congruentes ( BD = DC).

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