Prove que a dízima periódica é igual a

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a dízima periódica
x = 0,21507507ldots
é igual a
21507-2199900 = 2148699900 = 358116650
O conteúdo aqui é conversão de dízimas periódicas em fração, usando a técnica de multiplicar por potências de 10 para alinhar a parte não-periódica e o período.

Passo 2

Note que em x temos parte não-periódica de dois dígitos (21) e período de três dígitos (507). Definimos
x = 0,21507507ldots
e multiplicamos por 10^2 (para deslocar a parte não-periódica) e por 10^2+3=10^5 (para deslocar uma repetição completa):
10^2 x = 21,507507ldots e 10^5 x = 21507,507507ldots

Passo 3

Subtraindo as duas expressões para eliminar a parte periódica infinita, temos
10^5 x - 10^2 x = (21507,507507ldots) - (21,507507ldots)
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99900,x = 21507 - 21

Passo 4

Da equação anterior segue
x = 21507 - 2199900 = 2148699900

Passo 5

Basta agora simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 6:
2148699900 = 21486div699900div6 = 358116650

Resposta

0,21507507ldots = 21507-2199900 = 2148699900 = 358116650

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