Prove que duas retas, respectivamente perpendiculares a dois planos paralelos, são paralelas.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois planos P1 e P2 paralelos ( P1paral<=l P2), e duas retas d1 e d2 tais que d1perp P1 e d2perp P2. O que precisamos provar é que d1paral<=l d2. Vamos usar coordenadas vetoriais, definindo vetores normais aos planos e vetores diretores das retas.

Passo 2

Como P1paral<=l P2, seus vetores normais n1 e n2 são colineares. Ou seja, existe lambdaneq0 tal que
n2 = lambda,n1

Passo 3

A condição “reta perpendicular a plano” implica que o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Assim, se v1 é vetor diretor de d1, temos v1paral<=l n1, isto é, existe muneq0 com
v1 = mu,n1
De modo análogo, se v2 é vetor diretor de d2, existe nuneq0 tal que
v2 = nu,n2

Passo 4

Substituindo n2 = lambda,n1 em v2 = nu,n2, obtemos
v2 = nu,(lambda,n1) = (nulambda),n1
Logo v2 é múltiplo de v1, pois v1=mu,n1. Assim v1paral<=l v2, e portanto as retas d1 e d2 são paralelas.

Resposta

As retas são paralelas, ou seja, d1paral<=l d2.

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