Prove que duas retas, respectivamente perpendiculares a dois planos paralelos, são paralelas.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois planos
e
paralelos (
), e duas retas
e
tais que
e
. O que precisamos provar é que
. Vamos usar coordenadas vetoriais, definindo vetores normais aos planos e vetores diretores das retas.
Passo 2
Como
, seus vetores normais
e
são colineares. Ou seja, existe
tal que
Passo 3
A condição “reta perpendicular a plano” implica que o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Assim, se
é vetor diretor de
, temos
, isto é, existe
com
De modo análogo, se
é vetor diretor de
, existe
tal que
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
Logo
é múltiplo de
, pois
. Assim
, e portanto as retas
e
são paralelas.
Resposta
As retas são paralelas, ou seja,
.