Prove por induçāo os seguintes resultados:
Para todo a in R, 0<a<1,(1+a)^n<1+2^n cdot a(forall n >= 1).

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que para todo ainR com 0<a<1 e todo inteiro n>=1 vale
(1+a)^n < 1 + 2^na
O conteúdo é técnica de indução e uso de desigualdades básicas (em particular, que se 0<x<y então x^n<y^n para n>=1).

Passo 2

Base da indução: n=1.
(1+a)^1 = 1+a < 1+2a
porque a>0 implica a<2a. Logo a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Observação auxiliar: como 0<a<1 temos 1+a<2. Então, elevando ambos os lados a uma potência inteira k>=1,
(1+a)^k < 2^k

Passo 4

Passo indutivo. Suponha que, para um certo k>=1,
(1+a)^k < 1 + 2^ka
Queremos mostrar que
(1+a)^k+1 < 1 + 2^k+1a
Começamos por escrever
(1+a)^k+1 = (1+a)^k cdot (1+a) = (1+a)^k + a,(1+a)^k
Aplicando a hipótese indutiva ,(1+a)^k<1+2^ka, e a Observação do Passo 3 ,(1+a)^k<2^k, obtemos
(1+a)^k+1 < l(1+2^kar) , + , acdot 2^k = 1 + 2^ka + 2^ka = 1 + 2^k+1a
Isso fecha o passo de indução.

Resposta

Portanto, por indução, para todo inteiro n>=1 e todo ain(0,1) vale
(1+a)^n < 1 + 2^na

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