Prove por induçāo os seguintes resultados:
Para todo
.
Para todo
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que para todo
com
e todo inteiro
vale
O conteúdo é técnica de indução e uso de desigualdades básicas (em particular, que se
então
para
).
Passo 2
Base da indução:
.
porque
implica
. Logo a propriedade vale para
.
Passo 3
Observação auxiliar: como
temos
. Então, elevando ambos os lados a uma potência inteira
,
Passo 4
Passo indutivo. Suponha que, para um certo
,
Queremos mostrar que
Começamos por escrever
Aplicando a hipótese indutiva
, e a Observação do Passo
, obtemos
Isso fecha o passo de indução.
Resposta
Portanto, por indução, para todo inteiro
e todo
vale