Determine o comprimento do anteperíodo e o do período da representação decimal de 1n nos seguintes casos:
n=190

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do anteperíodo (número de dígitos não periódicos após a vírgula) e do período da dízima decimal de 1n para n=190. O conteúdo é expansão decimal de número racional, que se resolve fatorando n em potências de 2 e 5 (que geram parte não periódica) e parte coprima a 10 (que gera período).

Passo 2

Fatoramos
190 = 2^1 cdot 5^1 cdot 19,
Os expoentes de 2 e 5 são ambos iguais a 1, logo o comprimento do anteperíodo é
max(1,1) = 1

Passo 3

A parte coprima a 10 é 19. O período da dízima de tfrac119 é o menor inteiro d>0 tal que
10^d equiv 1 pmod19,
isto é, a ordem de 10 no grupo multiplicativo de Z/19Z.

Passo 4

Calculando 10^kmod 19 para k=1,2,dots encontra-se
10^18equiv1pmod19
e nenhum expoente menor que 18 satisfaz essa congruência. Portanto o período é 18.

Resposta

Anteperíodo: 1
Período: 18

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