Sejam alpha, beta in R números tais que beta^2=alpha. Mostre que sé alpha é irracional, o mesmo acontece com beta. (Neste caso usa-se a notaçāo beta=raizalpha.)
Resolução: Se beta fosse racional, então beta^2=beta cdot beta=alpha também seria, o que é absurdo.

Passo 1

O enunciado diz que temos alpha,betainR com beta^2=alpha e pede para mostrar que, se alpha é irracional, então beta também é irracional. Vamos usar definição de número racional (fechamento sob soma e produto) e prova por contradição.

Passo 2

Suponha, por contradição, que beta seja racional. Então existem inteiros p e qneq0 com gcd(p,q)=1 tais que
beta = pq

Passo 3

Como o produto de dois números racionais é racional, temos
beta^2 = pqcdotpq = p^2q^2
que é racional. Mas beta^2=alpha, logo alpha seria racional, em contradição com a hipótese de que alpha é irracional.

Passo 4

A contradição mostra que a suposição “ beta é racional” é falsa. Portanto, beta não pode ser racional, isto é, beta é irracional.

Resposta

beta é irracional.

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