Sejam
números tais que
. Mostre que sé
é irracional, o mesmo acontece com
. (Neste caso usa-se a notaçāo
.)
Resolução: Se
fosse racional, então
também seria, o que é absurdo.
Resolução: Se
Passo 1
O enunciado diz que temos
com
e pede para mostrar que, se
é irracional, então
também é irracional. Vamos usar definição de número racional (fechamento sob soma e produto) e prova por contradição.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja racional. Então existem inteiros
e
com
tais que
Passo 3
Como o produto de dois números racionais é racional, temos
que é racional. Mas
, logo
seria racional, em contradição com a hipótese de que
é irracional.
Passo 4
A contradição mostra que a suposição “
é racional” é falsa. Portanto,
não pode ser racional, isto é,
é irracional.