Prove que
é irracional. Para que inteiros
é irracional?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
. Mostrar que
é irracional.
. Para quais inteiros positivos
o número
é irracional.
O conteúdo fundamental que vamos usar é a fatoração única em primos e a noção de que se uma potência de um inteiro é igual a uma potência de outro, então os expoentes dos primos nas fatorações devem coincidir.
Passo 2
Prova por contradição de que
é irracional.
Suponha que seja racional. Então existem inteiros coprimos
e
tais que
Suponha que
Isso significa
Elevando ambos os lados à potência
, obtemos
Porém, na fatoração prima de
temos
enquanto
só tem fator primo
. Pela unicidade da fatoração, isso exigiria que
, ou seja
. Mas então a fração
seria zero, o que implicaria
, absurdo.
Portanto não pode ser racional, isto é, é irracional.
Portanto
Passo 3
Análise de quando
é racional.
Suponha que para algum inteiro tenhamos
racional. Então existe uma fração irreduzível
tal que
Suponha que para algum inteiro
Isto equivale a
Passo 4
Aplicando fatoração única a
e a
:
Para que
seja possível, o único primo que pode aparecer em
são
e
, e os expoentes devem coincidir: se
então
logo devemos ter
Portanto
.