Prove que log 10 2 é irracional. Para que inteiros n log 10 n é irracional?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1. Mostrar que log102 é irracional.
2. Para quais inteiros positivos n o número nlog10n é irracional.
O conteúdo fundamental que vamos usar é a fatoração única em primos e a noção de que se uma potência de um inteiro é igual a uma potência de outro, então os expoentes dos primos nas fatorações devem coincidir.

Passo 2

Prova por contradição de que log102 é irracional.
Suponha que log102 seja racional. Então existem inteiros coprimos a e b>0 tais que
log102 = ab
Isso significa
10^ab = 2
Elevando ambos os lados à potência b, obtemos
10^a = 2^b
Porém, na fatoração prima de 10^a temos
10^a = 2^a cdot 5^a,
enquanto 2^b só tem fator primo 2. Pela unicidade da fatoração, isso exigiria que 5^a=1, ou seja a=0. Mas então a fração a/b seria zero, o que implicaria 2=10^0=1, absurdo.
Portanto log102 não pode ser racional, isto é, é irracional.

Passo 3

Análise de quando nlog10n é racional.
Suponha que para algum inteiro n>0 tenhamos nlog10n racional. Então existe uma fração irreduzível tfracpq tal que
nlog10n = pq
Isto equivale a
log10n^n = pq Longrightarrow 10^pq = n^n Longrightarrow 10^p = n^nq

Passo 4

Aplicando fatoração única a 10^p e a n^nq:
10^p = 2^p,5^p, n^nq = prodrmid n r^,(expoente de r em n)cdot nq
Para que 2^p5^p=n^nq seja possível, o único primo que pode aparecer em n são 2 e 5, e os expoentes devem coincidir: se n=2^a5^b então
n^nq = 2^anq,5^bnq,
logo devemos ter
p = anq e p = bnq Longrightarrow anq = bnq Longrightarrow a=b
Portanto n=2^a5^a=(2cdot5)^a=10^a.

Resposta

1. log102 é irracional.
2. O número nlog10n é racional se, e somente se, n for potência de 10, isto é n=10^k para algum inteiro k>=0. Para todo outro inteiro positivo n, nlog10n é irracional.

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