Prove que pelo menos uma face de um triedro tem medida menor que 120^circ.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um triedro (ângulo triédrico) de vértice O, formado por três semirretas OA, OB e OC. Queremos mostrar que pelo menos uma das três faces planas (isto é, um dos três ângulos ang<= AOB, ang<= BOC, ang<= COA) é menor que 120^circ.
Conteúdo: usaremos geometria esférica elementar, projetando o triedro num triângulo sobre a esfera unitária centrada em O.

Passo 2

Coloquemos uma esfera de raio 1 com centro em O. Definimos os pontos
A' = OA|OA|, B' = OB|OB|, C' = OC|OC|
Então A', B', C' estão na esfera unitária.

Passo 3

Na esfera, unimos A' a B', B' a C' e C' a A' por geodésicas (arcos de grande círculo), sempre escolhendo o arco menor. O resultado é um triângulo esférico A'B'C'. Pelo fato clássico de geometria esférica, o comprimento de cada lado deste triângulo é exatamente o ângulo central correspondente, isto é,
arco A'B' = ang<= AOB, arco B'C' = ang<= BOC, arco C'A' = ang<= COA

Passo 4

Propriedade fundamental: o perímetro de qualquer triângulo esférico (isto é, a soma dos comprimentos de seus três lados) é sempre menor que 2pi (o comprimento de um grande círculo completo). Em símbolos, para quaisquer lados a,b,c de um triângulo esférico,
a + b + c < 2pi

Passo 5

Suponhamos, por absurdo, que todos os três ângulos de face satisfaçam
ang<= AOB ;>=; 120^circ, ang<= BOC ;>=; 120^circ, ang<= COA ;>=; 120^circ
Convertendo para radianos, isso quer dizer que cada um dos arcos A'B', B'C', C'A' tem comprimento >= 2pi/3. Logo
arco A'B' + arco B'C' + arco C'A' ;>=; 3cdot2pi3 ;=; 2pi,
contrariando o fato de que o perímetro do triângulo esférico é estritamente menor que 2pi.

Passo 6

Portanto a hipótese de que todas as três faces do triedro têm ângulo >=120^circ gera contradição. Concluímos que pelo menos uma das faces planas (ângulos ang<= AOB, ang<= BOC ou ang<= COA) é menor que 120^circ.

Resposta

Pelo argumento anterior, fica provado que pelo menos uma face do triedro mede menos que 120^circ.

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