Prove que pelo menos uma face de um triedro tem medida menor que
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um triedro (ângulo triédrico) de vértice
, formado por três semirretas
,
e
. Queremos mostrar que pelo menos uma das três faces planas (isto é, um dos três ângulos
,
,
) é menor que
.
Conteúdo: usaremos geometria esférica elementar, projetando o triedro num triângulo sobre a esfera unitária centrada em .
Conteúdo: usaremos geometria esférica elementar, projetando o triedro num triângulo sobre a esfera unitária centrada em
Passo 2
Coloquemos uma esfera de raio 1 com centro em
. Definimos os pontos
Então
,
,
estão na esfera unitária.
Passo 3
Na esfera, unimos
a
,
a
e
a
por geodésicas (arcos de grande círculo), sempre escolhendo o arco menor. O resultado é um triângulo esférico
. Pelo fato clássico de geometria esférica, o comprimento de cada lado deste triângulo é exatamente o ângulo central correspondente, isto é,
Passo 4
Propriedade fundamental: o perímetro de qualquer triângulo esférico (isto é, a soma dos comprimentos de seus três lados) é sempre menor que
(o comprimento de um grande círculo completo). Em símbolos, para quaisquer lados
de um triângulo esférico,
Passo 5
Suponhamos, por absurdo, que todos os três ângulos de face satisfaçam
Convertendo para radianos, isso quer dizer que cada um dos arcos
,
,
tem comprimento
. Logo
contrariando o fato de que o perímetro do triângulo esférico é estritamente menor que
.
Passo 6
Portanto a hipótese de que todas as três faces do triedro têm ângulo
gera contradição. Concluímos que pelo menos uma das faces planas (ângulos
,
ou
) é menor que
.
Resposta
Pelo argumento anterior, fica provado que pelo menos uma face do triedro mede menos que
.