Se um triedro tem suas faces iguais, entre que valores poderá estar compreendida cada uma de suas faces?
Passo 1
O enunciado fala de um triedro (ângulo diedro em três dimensões) cujas três faces (os três ângulos planos entre pares de arestas) são iguais, digamos cada uma de medida
. Queremos achar o intervalo de valores possíveis para
.
Passo 2
Representamos o triedro na esfera unitária centrada no vértice: cada aresta intercepta a esfera em um ponto, e as faces definem três grandes círculos cuja interseção delimita um triângulo esférico. Nesse triângulo, cada lado tem comprimento igual ao ângulo de face
.
Passo 3
Para que um triângulo esférico exista com lados
precisamos ter
e
Passo 4
No nosso caso
. As duas condições ficam
e
A segunda é mais restritiva, pois
implica
.
Resposta
Cada face do triedro satisfaz
isto é, em graus,