Se um triedro tem suas faces iguais, entre que valores poderá estar compreendida cada uma de suas faces?

Passo 1

O enunciado fala de um triedro (ângulo diedro em três dimensões) cujas três faces (os três ângulos planos entre pares de arestas) são iguais, digamos cada uma de medida alpha. Queremos achar o intervalo de valores possíveis para alpha.

Passo 2

Representamos o triedro na esfera unitária centrada no vértice: cada aresta intercepta a esfera em um ponto, e as faces definem três grandes círculos cuja interseção delimita um triângulo esférico. Nesse triângulo, cada lado tem comprimento igual ao ângulo de face alpha.

Passo 3

Para que um triângulo esférico exista com lados a,b,c precisamos ter
0 < a,b,c < pi
e
a + b + c < 2pi

Passo 4

No nosso caso a=b=c=alpha. As duas condições ficam
0 < alpha < pi
e
3alpha < 2pi
A segunda é mais restritiva, pois 3alpha<2pi implica alpha<tfrac2pi3.

Resposta

Cada face do triedro satisfaz
0 < alpha < 2pi3,
isto é, em graus,
0^circ < alpha < 120^circ

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