Prove que:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
é tal que
para todo
.
O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade e uso de indução matemática, além de um pequeno argumento em aritmética modular para tratar um fator extra.
O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade e uso de indução matemática, além de um pequeno argumento em aritmética modular para tratar um fator extra.
Passo 2
Base da indução (
).
e
é múltiplo de
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que para algum
já sabemos que
Vamos mostrar que então também
.
Passo 4
Calcule
:
Reescrevendo,
Pelo passo indutivo,
é múltiplo de
. Resta ver que
é também múltiplo de
.
Passo 5
Note que
logo
. Então
é múltiplo de
, e
é múltiplo de
.
Resposta
Pela indução, concluímos que
para todo
.