Prove que:
d) 9 mid(2^2 n+15 n-1), forall n >= 0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = 2^2n + 15,n - 1
é tal que 9mid an para todo n>=0.
O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade e uso de indução matemática, além de um pequeno argumento em aritmética modular para tratar um fator extra.

Passo 2

Base da indução ( n=0).
a0 = 2^0 + 15cdot0 - 1 = 1 - 1 = 0,
e 0 é múltiplo de 9. Logo, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para algum n>=0 já sabemos que
9 mid an = 2^2n + 15n - 1
Vamos mostrar que então também 9mid an+1.

Passo 4

Calcule an+1:
an+1 = 2^2(n+1) + 15(n+1) - 1 = 4cdot 2^2n + 15n + 15 - 1 = 4cdot 2^2n + 15n + 14
Reescrevendo,
an+1 = l(2^2n + 15n - 1r) ;+; 3cdot 2^2n ;+; 15
Pelo passo indutivo, 2^2n+15n-1 é múltiplo de 9. Resta ver que
3cdot 2^2n + 15 = 3l(2^2n+5r)
é também múltiplo de 9.

Passo 5

Note que
2^2n = (2^2)^n = 4^n equiv 1^n = 1 pmod3,
logo 2^2n+5 equiv 1+5 = 6 equiv 0 pmod3. Então 2^2n+5 é múltiplo de 3, e
3l(2^2n+5r)
é múltiplo de 3times3=9.

Resposta

Pela indução, concluímos que 9mid l(2^2n+15n-1r) para todo n>=0.

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