Prove as seguintes afirmações:
Se n é par, então
Se n é par, então
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove que, sempre que
é par, vale
O conteúdo de matéria aqui é a função totiente de Euler, a propriedade de multiplicatividade e a fórmula para potências de primo.
Passo 2
Lembrando dois fatos fundamentais sobre
:
- Para todo primo
e inteiro
- Se
, então
Passo 3
Como
é par, podemos escrever
onde
e
é ímpar. Note que
.
Passo 4
Pela multiplicatividade, temos
Passo 5
Da fórmula de potências de primo segue
Assim
Passo 6
Comparando as duas últimas expressões, vemos que
Resposta
Fica provado que, para todo
par,
.