Prove as seguintes afirmações:
Se n é par, então varphi(2 n)=2 varphi(n)

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove que, sempre que n é par, vale
varphi(2n)=2,varphi(n)
O conteúdo de matéria aqui é a função totiente de Euler, a propriedade de multiplicatividade e a fórmula para potências de primo.

Passo 2

Lembrando dois fatos fundamentais sobre varphi:
  1. Para todo primo p e inteiro a>=1
varphil(p^ar)=p^a-p^a-1=p^a-1(p-1)
  1. Se gcd(x,y)=1, então
varphi(xy)=varphi(x),varphi(y)

Passo 3

Como n é par, podemos escrever
n = 2^k,m,
onde k>=1 e m é ímpar. Note que gcd(2^k,m)=1.

Passo 4

Pela multiplicatividade, temos
varphi(n)=varphil(2^kr),varphi(m), varphi(2n)=varphil(2^k+1r),varphi(m)

Passo 5

Da fórmula de potências de primo segue
varphil(2^kr)=2^k-1, varphil(2^k+1r)=2^k
Assim
varphi(n)=2^,k-1,varphi(m), varphi(2n)=2^,k,varphi(m)

Passo 6

Comparando as duas últimas expressões, vemos que
varphi(2n) =2^,k,varphi(m) =2l(2^,k-1,varphi(m)r) =2,varphi(n)

Resposta

Fica provado que, para todo n par, varphi(2n)=2,varphi(n).

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