Mostre que mdc(a, b)=mdc(a, b, a+b), para quaisquer a, b in Z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer a,binZ,
mdc(a,b);=;mdc(a,b,a+b)
O conteúdo principal aqui é a definição de máximo divisor comum (mdc, ou gcd) e suas propriedades de divisibilidade: se um inteiro d divide a e b, então também divide a+b, e se um inteiro e divide a+b e b, então divide a.

Passo 2

Seja d = mdc(a,b).
Pela definição de mdc, d satisfaz
dmid a e dmid b
Logo, pela propriedade de divisibilidade, dmid(a+b). Portanto d é um divisor comum de a, b e a+b. Como mdc(a,b,a+b) é o maior inteiro que divide simultaneamente esses três números, temos
mdc(a,b,a+b);>=;d

Passo 3

Agora seja e = mdc(a,b,a+b).
Pela definição,
emid a, emid b, emid(a+b)
Em particular, emid(a+b) e emid b implicam
emidl((a+b)-br) Longrightarrow emid a
Assim e divide a e b, ou seja, e é um divisor comum de a e b. Logo
mdc(a,b);>=;e

Passo 4

Dos resultados dos passos anteriores obtivemos
mdc(a,b,a+b);>=;mdc(a,b) e mdc(a,b);>=;mdc(a,b,a+b)
Portanto só resta a igualdade entre eles.

Resposta

mdc(a,b)=mdc(a,b,a+b)

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