Mostre que
, para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
,
O conteúdo principal aqui é a definição de máximo divisor comum (mdc, ou
) e suas propriedades de divisibilidade: se um inteiro
divide
e
, então também divide
, e se um inteiro
divide
e
, então divide
.
Passo 2
Seja
.
Pela definição de mdc, satisfaz
Pela definição de mdc,
Logo, pela propriedade de divisibilidade,
. Portanto
é um divisor comum de
,
e
. Como
é o maior inteiro que divide simultaneamente esses três números, temos
Passo 3
Agora seja
.
Pela definição,
Pela definição,
Em particular,
e
implicam
Assim
divide
e
, ou seja,
é um divisor comum de
e
. Logo
Passo 4
Dos resultados dos passos anteriores obtivemos
Portanto só resta a igualdade entre eles.