Resolva as seguintes congruências lineares:
5 x equiv 2(bmod 26)

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos resolver a congruência linear
5x equiv 2 pmod26
ou seja, encontrar todos os x que satisfazem essa relação. Para isso vamos usar teoria de congruência linear: verificar a existência de solução via gcd e calcular o inverso multiplicativo de 5 módulo 26.

Passo 2

Em geral a congruência
a x equiv b pmodm
tem solução se, e somente se, gcd(a,m) divide b. Aqui calculamos
gcd(5,26) = 1
Como 1 divide 2, existe solução única módulo 26.

Passo 3

Agora precisamos do inverso de 5 em Z26. Pelo algoritmo de Euclides estendido:
26 = 5 times 5 + 1,
5 = 1 times 5 + 0
Da primeira linha isolamos
1 = 26 - 5 times 5
Isso mostra que 5 cdot (-5) equiv 1 pmod26, logo o inverso de 5 é -5equiv21pmod26.

Passo 4

Multiplicamos a congruência original por 21, o inverso de 5:
x equiv 21 times 2 pmod26,
x equiv 42 equiv 16 pmod26

Resposta

x equiv 16 pmod26

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