Prove as seguintes afirmações:
Os divisores primos ímpares de um número inteiro n^4+1 são da forma 8 k+1.

Passo 1

O enunciado nos pede provar que, se um primo ímpar p divide
n^4 + 1,
então necessariamente
p equiv 1 pmod8
O conteúdo que vamos usar envolve a ordem multiplicativa de um elemento em Z/pZ e o Teorema de Fermat.

Passo 2

Suponha que p seja um primo ímpar com
p mid n^4 + 1
Então, em Z/pZ, temos
n^4 equiv -1 pmodp
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
n^8 equiv 1 pmodp

Passo 3

Como p não divide n (se dividisse, teríamos n^4+1equiv1notequiv0pmod p), podemos definir a ordem multiplicativa de n módulo p: seja
d = ordp(n),
isto é, o menor inteiro positivo tal que
n^d equiv 1 pmodp
Da congruência n^8equiv1pmod p segue que d divide 8. Mas não pode ser 1, 2 ou 4, pois em cada um desses casos teríamos
n^4equiv1pmod p
(o contrário de n^4equiv-1), gerando contradição. Logo
d = 8

Passo 4

Pelo Teorema de Fermat, para todo a coprimo com p vale
a^p-1 equiv 1 pmodp,
de modo que a ordem d de n deve dividir p-1. Como já vimos que d=8, concluímos
8 mid (p-1),
ou seja,
p equiv 1 pmod8

Resposta

Todo divisor primo ímpar de n^4+1 é da forma 8k+1.

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