Prove as seguintes afirmações:
Os divisores primos ímpares de um número inteiro
são da forma
.
Os divisores primos ímpares de um número inteiro
Passo 1
O enunciado nos pede provar que, se um primo ímpar
divide
então necessariamente
O conteúdo que vamos usar envolve a ordem multiplicativa de um elemento em
e o Teorema de Fermat.
Passo 2
Suponha que
seja um primo ímpar com
Então, em
, temos
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
Passo 3
Como
não divide
(se dividisse, teríamos
), podemos definir a ordem multiplicativa de
módulo
: seja
isto é, o menor inteiro positivo tal que
Da congruência
segue que
divide
. Mas não pode ser
,
ou
, pois em cada um desses casos teríamos
(o contrário de
), gerando contradição. Logo
Passo 4
Pelo Teorema de Fermat, para todo
coprimo com
vale
de modo que a ordem
de
deve dividir
. Como já vimos que
, concluímos
ou seja,
Resposta
Todo divisor primo ímpar de
é da forma
.