Prove que o número
é divisível por 11, para todo número natural k .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
é divisível por 11. O conteúdo principal envolve aritmética modular (congruências) e o princípio de indução matemática.
Passo 2
Base da indução (
).
e de fato
é múltiplo de
. Portanto, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que
seja múltiplo de
. Vamos mostrar que
também é. Observe que
Agora calculamos cada uma dessas potências de expoente
módulo
:
Logo, multiplicar por
,
ou
não altera o resto modulo
.
Passo 4
Usando o resultado anterior, temos
Pela hipótese indutiva
e pelo caso base
, segue por indução que
para todo
.
Resposta
Para todo
,
é divisível por
.