Prove que o número 5^5 k+1+4^5 k+2+3^5 k é divisível por 11, para todo número natural k .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo kinN,
N(k)=5^5k+1+4^5k+2+3^5k
é divisível por 11. O conteúdo principal envolve aritmética modular (congruências) e o princípio de indução matemática.

Passo 2

Base da indução ( k=0).
N(0)=5^1+4^2+3^0=5+16+1=22,
e de fato 22 é múltiplo de 11. Portanto, a propriedade vale para k=0.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que N(k) seja múltiplo de 11. Vamos mostrar que N(k+1) também é. Observe que
N(k+1) =5^5(k+1)+1+4^5(k+1)+2+3^5(k+1) =5^5cdot5^5k+1+4^5cdot4^5k+2+3^5cdot3^5k
Agora calculamos cada uma dessas potências de expoente 5 módulo 11:
5^5=1024=11cdot93+1Longrightarrow5^5equiv1pmod11,
4^5=1024=11cdot93+1Longrightarrow4^5equiv1pmod11,
3^5=243=11cdot22+1Longrightarrow3^5equiv1pmod11
Logo, multiplicar por 5^5, 4^5 ou 3^5 não altera o resto modulo 11.

Passo 4

Usando o resultado anterior, temos
N(k+1) =5^5cdot5^5k+1+4^5cdot4^5k+2+3^5cdot3^5k equiv5^5k+1+4^5k+2+3^5k =N(k)pmod11
Pela hipótese indutiva N(k)equiv0pmod11 e pelo caso base N(0)equiv0pmod11, segue por indução que N(k)equiv0pmod11 para todo k.

Resposta

Para todo kinN,
5^5k+1+4^5k+2+3^5k
é divisível por 11.

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