Prove que um número natural nāo nulo tem um número ímpar de divisores se, e somente se, esse número é quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um número natural não nulo n, a quantidade de divisores de n é ímpar se, e somente se, n é um quadrado perfeito. O conteúdo que vamos usar é o conceito de divisores e a ideia de “emparelhar” cada divisor d de n com o divisor complementar n/d.

Passo 2

Considere o conjunto dos divisores de n:
D = ,d in N mid d mid n
Para cada din D tal que dneq raizn, temos um divisor “parceiro” n/d distinto de d. Logo, esses divisores se agrupam em pares (d,,n/d). Há dois casos:
1. Se n não é quadrado perfeito, então raiznnotinN e nenhum divisor fica sem parceiro. Assim, todos os elementos de D estão emparelhados, e lvert Drvert é par.
2. Se n é quadrado perfeito, então raizninN e raiznmid n. Nesse caso aparece exatamente um divisor que se emparelha consigo mesmo, pois raizn=n/ raizn. Os demais divisores ficam em pares distintos, de modo que lvert Drvert é um número par (vindo dos pares) mais 1 (o divisor raizn não emparelhado), ou seja, ímpar.

Passo 3

Do item anterior concluímos a equivalência:
  • Se n é quadrado perfeito, então há um divisor sem par, e o total lvert Drvert é ímpar.
  • Se n não é quadrado perfeito, todos os divisores aparecem em pares, e lvert Drvert é par.
    Portanto, n tem número ímpar de divisores se, e somente se, n é quadrado perfeito.

Resposta

Um número natural não nulo tem um número ímpar de divisores exatamente quando é quadrado perfeito.

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