Prove que um número natural nāo nulo tem um número ímpar de divisores se, e somente se, esse número é quadrado perfeito.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um número natural não nulo
, a quantidade de divisores de
é ímpar se, e somente se,
é um quadrado perfeito. O conteúdo que vamos usar é o conceito de divisores e a ideia de “emparelhar” cada divisor
de
com o divisor complementar
.
Passo 2
Considere o conjunto dos divisores de
:
Para cada
tal que
, temos um divisor “parceiro”
distinto de
. Logo, esses divisores se agrupam em pares
. Há dois casos:
Passo 3
Do item anterior concluímos a equivalência:
- Se
é quadrado perfeito, então há um divisor sem par, e o total é ímpar. - Se
não é quadrado perfeito, todos os divisores aparecem em pares, e é par.
Portanto,tem número ímpar de divisores se, e somente se, é quadrado perfeito.
Resposta
Um número natural não nulo tem um número ímpar de divisores exatamente quando é quadrado perfeito.