Prove que:
Um número perfeito nunca é uma potência de um número primo.

Passo 1

A questão pede para mostrar que se n é perfeito, então não existe primo p e inteiro k>=1 tais que n=p^k.
Conteúdo que usaremos: a fórmula da soma dos divisores de uma potência de primo e a definição de número perfeito ( sigma(n)=2n).

Passo 2

Suponha, por contradição, que n=p^k seja perfeito, com p primo e k>=1. A soma de todos os divisores de p^k é
sigma(p^k);=;1+p+p^2+cdots+p^k ;=;p^,k+1-1p-1
Pela definição de número perfeito, temos
sigma(p^k);=;2,p^k

Passo 3

Igualando as duas expressões de sigma(p^k), obtemos
p^,k+1-1p-1 ;=;2,p^k
Multiplicando ambos os lados por (p-1)
p^,k+1-1 ;=;2,p^k,(p-1) ;=;2,p^,k+1-2,p^k

Passo 4

Reorganizando termos, vem
p^,k+1-1 ;=;2,p^,k+1-2,p^k Longrightarrow -1 ;=;p^,k+1-2,p^,k+1+2,p^k Longrightarrow 1 ;=;p^k(p-2)

Passo 5

Analisamos a equação inteira
1 ;=;p^k(p-2)
Como p é primo, p^k>=2.
  • Se p=2, então p-2=0 e o produto é zero, não 1.
  • Se p>=3, então p-2>=1 e p^k(p-2)>=2.
Logo não há solução inteira para 1=p^k(p-2).

Resposta

Não existe primo p e inteiro k>=1 tais que p^k seja perfeito. Portanto, um número perfeito nunca é uma potência de primo.

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