Prove que:
Um número perfeito nunca é uma potência de um número primo.
Um número perfeito nunca é uma potência de um número primo.
Passo 1
A questão pede para mostrar que se
é perfeito, então não existe primo
e inteiro
tais que
.
Conteúdo que usaremos: a fórmula da soma dos divisores de uma potência de primo e a definição de número perfeito ( ).
Conteúdo que usaremos: a fórmula da soma dos divisores de uma potência de primo e a definição de número perfeito (
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja perfeito, com
primo e
. A soma de todos os divisores de
é
Pela definição de número perfeito, temos
Passo 3
Igualando as duas expressões de
, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
dá
Passo 4
Reorganizando termos, vem
Passo 5
Analisamos a equação inteira
Como
é primo,
.
- Se
, então e o produto é zero, não 1. - Se
, então e .
Logo não há solução inteira para
.
Resposta
Não existe primo
e inteiro
tais que
seja perfeito. Portanto, um número perfeito nunca é uma potência de primo.