Prove que se um número real
for uma raiz de uma equação polinomial
com coeficientes inteiros, então
é ou um número irracional ou um inteiro; se for inteiro, mostre que deve ser um fator de
.
Passo 1
O enunciado nos dá um polinômio com coeficientes inteiros
e pede para provar que toda raiz real
é ou irracional ou um inteiro que divide
.
O conteúdo aqui é o Teorema da Raiz Racional, que se baseia em argumentos de divisibilidade em Z.
O conteúdo aqui é o Teorema da Raiz Racional, que se baseia em argumentos de divisibilidade em Z.
Passo 2
Suponha que
seja racional. Então podemos escrevê-lo em forma irredutível
onde
e
são inteiros sem fator comum e
.
Passo 3
Substituindo
no polinômio e multiplicando toda a equação por
, obtemos
Passo 4
Analisando divisibilidade por
: todos os termos, exceto
, são múltiplos de
. Logo,
e portanto
. Como
, só resta
. Assim
é um inteiro.
Passo 5
Agora, voltando à igualdade
e sabendo que
, reescrevemos
Todos os termos, exceto
, são múltiplos de
. Logo
e
. Assim, a raiz inteira
divide o termo constante
.
Resposta
Fica provado que qualquer raiz real
é ou irracional ou, se racional, deve ser inteiro divisor de
.