Prove que se um número real x0 for uma raiz de uma equação polinomial
x^n+cn-1 x^n-1+cn-2 x^n-2+cdots+c1 x+c0=0
com coeficientes inteiros, então x0 é ou um número irracional ou um inteiro; se for inteiro, mostre que deve ser um fator de c0.

Passo 1

O enunciado nos dá um polinômio com coeficientes inteiros
x^n+cn-1x^n-1+cdots+c1x+c0=0
e pede para provar que toda raiz real x0 é ou irracional ou um inteiro que divide c0.
O conteúdo aqui é o Teorema da Raiz Racional, que se baseia em argumentos de divisibilidade em Z.

Passo 2

Suponha que x0 seja racional. Então podemos escrevê-lo em forma irredutível
x0=pq,
onde p e q são inteiros sem fator comum e q>0.

Passo 3

Substituindo tfracpq no polinômio e multiplicando toda a equação por q^n, obtemos
p^n+cn-1,p^n-1q+cdots+c1,p,q^n-1+c0,q^n=0

Passo 4

Analisando divisibilidade por q: todos os termos, exceto p^n, são múltiplos de q. Logo,
p^nequiv0pmod q
e portanto qmid p^n. Como gcd(p,q)=1, só resta q=1. Assim x0=p é um inteiro.

Passo 5

Agora, voltando à igualdade
p^n+cn-1,p^n-1q+cdots+c0,q^n=0
e sabendo que q=1, reescrevemos
p^n+cn-1,p^n-1+cdots+c1,p+c0=0
Todos os termos, exceto c0, são múltiplos de p. Logo
c0equiv0pmod p
e pmid c0. Assim, a raiz inteira p divide o termo constante c0.

Resposta

Fica provado que qualquer raiz real x0 é ou irracional ou, se racional, deve ser inteiro divisor de c0.

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