Sejam a e b inteiros primos entre si. Prove que:
mdc(a+b, a^2-a b+b^2)=1 ou 3

Passo 1

O enunciado diz: “Sejam a e b inteiros tais que gcd(a,b)=1. Provar que
gcdl(a+b,;a^2 - a b + b^2r)
é igual a 1 ou a 3.
Conteúdo: propriedades do máximo divisor comum e algoritmo de Euclides para combinar combinações lineares de inteiros.

Passo 2

Denote
g = gcdl(a+b,;a^2 - ab + b^2r)
Como g divide ambas as expressões, ele também divide qualquer combinação linear. Em particular, considere
(a^2 - ab + b^2);-;a,(a+b)
Fazendo a subtração, obtemos
a^2 - ab + b^2 - (a^2 + ab) ;=; -2ab + b^2 ;=; b,(b - 2a)
Logo, g divide b,(b - 2a) e também divide a+b.

Passo 3

Como gcd(a+b,b)=gcd(a,b)=1, qualquer fator comum a g e a b é 1. Portanto g não pode ter nenhum primo divisor comum com b, de modo que todo primo divisor de g deve dividir b-2a e também a+b.
Se p é um primo tal que pmid g, então
b equiv 2a pmod p e a + b equiv 0 pmod p
Substituindo b equiv 2a em a+bequiv0, vem
3a equiv 0 pmod p
Mas p não pode dividir a (pois senão dividiria gcd(a,b)=1), então p deve dividir 3. Concluímos que todo primo divisor de g é 3. Logo
g mid 3

Passo 4

Como g é divisor de 3, só há as possibilidades g=1 ou g=3.
Para ver quando g=3 ocorre, basta exigir 3mid(a+b). De fato, se a+bequiv0pmod3 então bequiv -apmod3 e
a^2 - ab + b^2 equiv a^2 - a(-a) + (-a)^2 = 3a^2 equiv 0 pmod3,
ou seja, ambos são múltiplos de 3 e gcd é 3. Caso contrário, gcd cai para 1.

Resposta

gcdl(a+b,;a^2 - a b + b^2r) ;=; 3,&se 3mid (a+b), 1,&caso contrário á

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