Mostre que, para todo inteiro a:
o algarismo das unidades de
pode ser qualquer dos algarismos de nosso sistema de numeração.
o algarismo das unidades de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer dígito
, existe um inteiro
cujo cubo
tenha justamente
como algarismo das unidades. Vamos usar aritmética modular módulo 10.
Passo 2
Se escrevemos
com
e
, então
Isso mostra que o algarismo das unidades de
depende apenas de
.
Passo 3
Calculamos
para
:
Os restos obtidos são exatamente
.
Passo 4
Como cada dígito de 0 a 9 aparece como
para algum
, basta escolher
para garantir que o algarismo das unidades de
seja o dígito desejado.
Resposta
O algarismo das unidades de
pode ser qualquer dígito de
a
.