Mostre que, para todo inteiro a:
o algarismo das unidades de a^3 pode ser qualquer dos algarismos de nosso sistema de numeração.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer dígito din0,1,2,dots,9, existe um inteiro a cujo cubo a^3 tenha justamente d como algarismo das unidades. Vamos usar aritmética modular módulo 10.

Passo 2

Se escrevemos
a = 10k + b,
com kinZ e bin0,1,dots,9, então
a^3 = (10k + b)^3 equiv b^3 pmod10
Isso mostra que o algarismo das unidades de a^3 depende apenas de b^3 bmod 10.

Passo 3

Calculamos b^3 bmod 10 para b=0,1,dots,9:
0^3 &equiv 0, 1^3 &equiv 1, 2^3 &equiv 8, 3^3 &equiv 27equiv7, 4^3 &equiv 64equiv4, 5^3 &equiv 125equiv5, 6^3 &equiv 216equiv6, 7^3 &equiv 343equiv3, 8^3 &equiv 512equiv2, 9^3 &equiv 729equiv9 pmod10
Os restos obtidos são exatamente 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Passo 4

Como cada dígito de 0 a 9 aparece como b^3pmod10 para algum b, basta escolher aequiv bpmod10 para garantir que o algarismo das unidades de a^3 seja o dígito desejado.

Resposta

O algarismo das unidades de a^3 pode ser qualquer dígito de 0 a 9.

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