6.1.12 Prove que
(a) |sen z| >=|sen x|
(b) |cos z| >=|cos x|.

Passo 1

O enunciado pede para provar, dados z=x+iy com x,yinR, as desigualdades
|sin z|>=|sin x| e |cos z|>=|cos x|
Para isso vamos usar as fórmulas de sin(x+iy) e cos(x+iy) em termos de sin x,cos x,sinh y,cosh y e as propriedades
cosh^2y=1+sinh^2y>=1, sinh^2y>=0.

Passo 2

Recordando a fórmula de Euler, ou fazendo separação em parte real e imaginária, obtemos
sin z = sin(x+iy) = sin x,cosh y + i,cos x,sinh y
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|sin z|^2 =(sin x,cosh y)^2 + (cos x,sinh y)^2 =sin^2x;cosh^2y + cos^2x;sinh^2y

Passo 3

Como cosh^2y=1+sinh^2y>=1 e sinh^2y>=0, segue
|sin z|^2 =sin^2x,cosh^2y + cos^2x,sinh^2y >= sin^2xcdot1 + cos^2xcdot0 =sin^2x
Tomando raiz não negativa, concluímos
|sin z|>=|sin x|

Passo 4

De modo análogo, para o cosseno temos
cos z = cos(x+iy) = cos x,cosh y - i,sin x,sinh y,
portanto
|cos z|^2 =(cos x,cosh y)^2 + (sin x,sinh y)^2 =cos^2x;cosh^2y + sin^2x;sinh^2y >= cos^2xcdot1 + sin^2xcdot0 =cos^2x
e daí
|cos z|>=|cos x|

Resposta

(a) |sin z|>=|sin x|
(b) |cos z|>=|cos x|

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