6.1.12 Prove que
(a) |\operatorname{sen} z| \geq|\operatorname{sen} x|
(b) |\cos z| \geq|\cos x|.

Passo 1

O enunciado pede para provar, dados z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, as desigualdades
|\sin z|\ge|\sin x| \quad\text{e}\quad |\cos z|\ge|\cos x|.
Para isso vamos usar as fórmulas de \sin(x+iy) e \cos(x+iy) em termos de \sin x,\cos x,\operatorname{sinh} y,\operatorname{cosh} y e as propriedades
\operatorname{cosh}^2y=1+\operatorname{sinh}^2y\ge1, \operatorname{sinh}^2y\ge0.

Passo 2

Recordando a fórmula de Euler, ou fazendo separação em parte real e imaginária, obtemos
\sin z = \sin(x+iy) = \sin x\,\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\,\operatorname{sinh} y.
Logo
|\sin z|^2 =(\sin x\,\operatorname{cosh} y)^2 + (\cos x\,\operatorname{sinh} y)^2 =\sin^2x\;\operatorname{cosh}^2y + \cos^2x\;\operatorname{sinh}^2y.

Passo 3

Como \operatorname{cosh}^2y=1+\operatorname{sinh}^2y\ge1 e \operatorname{sinh}^2y\ge0, segue
|\sin z|^2 =\sin^2x\,\operatorname{cosh}^2y + \cos^2x\,\operatorname{sinh}^2y \ge \sin^2x\cdot1 + \cos^2x\cdot0 =\sin^2x.
Tomando raiz não negativa, concluímos
|\sin z|\ge|\sin x|.

Passo 4

De modo análogo, para o cosseno temos
\cos z = \cos(x+iy) = \cos x\,\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\,\operatorname{sinh} y,
portanto
|\cos z|^2 =(\cos x\,\operatorname{cosh} y)^2 + (\sin x\,\operatorname{sinh} y)^2 =\cos^2x\;\operatorname{cosh}^2y + \sin^2x\;\operatorname{sinh}^2y \ge \cos^2x\cdot1 + \sin^2x\cdot0 =\cos^2x
e daí
|\cos z|\ge|\cos x|.

Resposta

(a) |\sin z|\ge|\sin x|
(b) |\cos z|\ge|\cos x|

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