Para isso vamos usar as fórmulas de \sin(x+iy) e \cos(x+iy) em termos de \sin x,\cos x,\operatorname{sinh} y,\operatorname{cosh} y e as propriedades \operatorname{cosh}^2y=1+\operatorname{sinh}^2y\ge1, \operatorname{sinh}^2y\ge0.
Passo 2
Recordando a fórmula de Euler, ou fazendo separação em parte real e imaginária, obtemos
\sin z = \sin(x+iy) = \sin x\,\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\,\operatorname{sinh} y.