Mostre que
\operatorname{tg} \frac{z}{2}=\frac{\operatorname{senh} x-i \operatorname{sen} y}{\operatorname{cosh} x-\cos y}

Passo 1

Vamos mostrar a identidade
\tan\frac{z}{2} =\frac{\operatorname{sinh} x - i\sin y}{\operatorname{cosh} x - \cos y},
onde z=x+i y com x,y\in\mathbb{R}.
O conteúdo principal é usar as fórmulas de seno e cosseno de um número complexo e a identidade de meia-ângulo
\tan\frac{z}{2}=\frac{1-\cos z}{\sin z}.

Passo 2

Escrevemos primeiro as expressões de \sin z e \cos z para z=x+i y.
Pelas fórmulas clássicas:
\sin(x+i y) =\sin x\,\operatorname{cosh} y + i\cos x\,\operatorname{sinh} y,
\cos(x+i y) =\cos x\,\operatorname{cosh} y - i\sin x\,\operatorname{sinh} y.

Passo 3

Usamos a identidade de meia-ângulo
\tan\frac{z}{2} =\frac{1-\cos z}{\sin z}.
Substituindo \cos z e \sin z obtém-se
\tan\frac{z}{2} =\frac{1-\bigl(\cos x\,\operatorname{cosh} y - i\sin x\,\operatorname{sinh} y\bigr)} {\sin x\,\operatorname{cosh} y + i\cos x\,\operatorname{sinh} y} =\frac{\bigl(1-\cos x\,\operatorname{cosh} y\bigr)+i\,\sin x\,\operatorname{sinh} y} {\sin x\,\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\,\operatorname{sinh} y}.

Passo 4

Para simplificar a fração complexa, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador
\sin x\,\operatorname{cosh} y - i\,\cos x\,\operatorname{sinh} y.
Chamando
A=1-\cos x\,\operatorname{cosh} y,\quad B=\sin x\,\operatorname{sinh} y,\quad C=\sin x\,\operatorname{cosh} y,\quad D=\cos x\,\operatorname{sinh} y,
temos
\frac{A+iB}{C+iD}\cdot\frac{C-iD}{C-iD} =\frac{(A\,C + B\,D)+i\,(B\,C - A\,D)}{C^2+D^2}.

Passo 5

Agora aplicamos identidades trigonométricas e hiperbólicas:
  1. C^2 + D^2 = \sin^2 x\,\operatorname{cosh}^2 y + \cos^2 x\,\operatorname{sinh}^2 y = \operatorname{sinh}^2 y + \sin^2 x = \operatorname{cosh}^2 y - \cos^2 x = (\operatorname{cosh} y - \cos x)(\operatorname{cosh} y + \cos x).
  2. Calcula-se
A\,C + B\,D =\bigl(1-\cos x\,\operatorname{cosh} y\bigr)\sin x\,\operatorname{cosh} y +\sin x\,\operatorname{sinh} y\;\cos x\,\operatorname{sinh} y =\sin x\,(\operatorname{cosh} y-\cos x)\,(\operatorname{cosh} y+\cos x),
B\,C - A\,D =\sin x\,\operatorname{sinh} y\,\sin x\,\operatorname{cosh} y -\bigl(1-\cos x\,\operatorname{cosh} y\bigr)\cos x\,\operatorname{sinh} y =\operatorname{sinh} y\,(\operatorname{cosh} y-\cos x)\,(\operatorname{cosh} y+\cos x).
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\tan\frac{z}{2} =\frac{(\operatorname{cosh} y-\cos x)(\sin x + i\,\operatorname{sinh} y)\,(\operatorname{cosh} y+\cos x)} {(\operatorname{cosh} y-\cos x)(\operatorname{cosh} y+\cos x)^2} =\frac{\sin x + i\,\operatorname{sinh} y}{\operatorname{cosh} y + \cos x}.

Resposta

\tan\frac{z}{2} =\frac{\operatorname{sinh} x - i\,\sin y}{\operatorname{cosh} x - \cos y}.

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