Mostre que
Passo 1
Vamos mostrar a identidade
onde
com
.
O conteúdo principal é usar as fórmulas de seno e cosseno de um número complexo e a identidade de meia-ângulo
O conteúdo principal é usar as fórmulas de seno e cosseno de um número complexo e a identidade de meia-ângulo
Passo 2
Escrevemos primeiro as expressões de
e
para
.
Pelas fórmulas clássicas:
Pelas fórmulas clássicas:
Passo 3
Usamos a identidade de meia-ângulo
Substituindo
e
obtém-se
Passo 4
Para simplificar a fração complexa, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador
.
Chamando
Chamando
temos
Passo 5
Agora aplicamos identidades trigonométricas e hiperbólicas:
-
- Calcula-se
Logo o quociente fica