Mostre que
tg z2=senh x-i sen ycosh x-cos y

Passo 1

Vamos mostrar a identidade
tanz2 =sinh x - isin ycosh x - cos y,
onde z=x+i y com x,yinR.
O conteúdo principal é usar as fórmulas de seno e cosseno de um número complexo e a identidade de meia-ângulo
tanz2=1-cos zsin z

Passo 2

Escrevemos primeiro as expressões de sin z e cos z para z=x+i y.
Pelas fórmulas clássicas:
sin(x+i y) =sin x,cosh y + icos x,sinh y,
cos(x+i y) =cos x,cosh y - isin x,sinh y

Passo 3

Usamos a identidade de meia-ângulo
tanz2 =1-cos zsin z
Substituindo cos z e sin z obtém-se
tanz2 =1-l(cos x,cosh y - isin x,sinh yr) sin x,cosh y + icos x,sinh y =l(1-cos x,cosh yr)+i,sin x,sinh y sin x,cosh y + i,cos x,sinh y

Passo 4

Para simplificar a fração complexa, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador
sin x,cosh y - i,cos x,sinh y.
Chamando
A=1-cos x,cosh y, B=sin x,sinh y, C=sin x,cosh y, D=cos x,sinh y,
temos
A+iBC+iDcdotC-iDC-iD =(A,C + B,D)+i,(B,C - A,D)C^2+D^2

Passo 5

Agora aplicamos identidades trigonométricas e hiperbólicas:
  1. C^2 + D^2 = sin^2 x,cosh^2 y + cos^2 x,sinh^2 y = sinh^2 y + sin^2 x = cosh^2 y - cos^2 x = (cosh y - cos x)(cosh y + cos x)
  2. Calcula-se
A,C + B,D =l(1-cos x,cosh yr)sin x,cosh y +sin x,sinh y;cos x,sinh y =sin x,(cosh y-cos x),(cosh y+cos x),
B,C - A,D =sin x,sinh y,sin x,cosh y -l(1-cos x,cosh yr)cos x,sinh y =sinh y,(cosh y-cos x),(cosh y+cos x)
Logo o quociente fica
tanz2 =(cosh y-cos x)(sin x + i,sinh y),(cosh y+cos x) (cosh y-cos x)(cosh y+cos x)^2 =sin x + i,sinh ycosh y + cos x

Resposta

tanz2 =sinh x - i,sin ycosh x - cos y

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