6.1.7 Prove que
(a) sumn=0^N-1 cos n x=sen(N x / 2)sen x / 2 cos (N-1) x2,
(b) sumn=0^N-1 sen n x=sen(N x / 2)sen x / 2 sen(N-1) x2.
Essas séries ocorrem na análise do padrão de difração de fenda múltipla. Uma outra aplicação é a análise do fenômeno de Gibbs, Seção 14.5.
Sugestão: As partes (a) e (b) podem ser combinadas para formar uma série geométrica (compare com a Seção a 5.1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as fórmulas fechadas das somas parciais
sumn=0^N-1cos(nx) e sumn=0^N-1sin(nx).
O truque é usar a identidade de Euler
e^i n x = cos(nx) + i,sin(nx)
e somar a série geométrica
sumn=0^N-1e^i n x. A partir dela extraímos parte real e imaginária para obter (a) e (b).

Passo 2

Definimos
S = sumn=0^N-1 e^i n x
Como é uma série geométrica com razão r=e^i x, vale
S = 1 - e^i N x1 - e^i x

Passo 3

Reescrevemos numerador e denominador em termos de seno usando
e^ialpha-e^-ialpha = 2isin(alpha)
Temos
1 - e^i N x = -l(e^i N x - 1r) = -e^iN x2l(e^iN x2 - e^-iN x2r) = -2i,e^iN x2sin!l(N x2r),
1 - e^i x = -2i,e^ix2sin!l(x2r)

Passo 4

Substituindo em S, os fatores -2i se cancelam e obtemos
S = -2i,e^iN x2sin!l(tfracN x2r) -2i,e^ix2sin!l(tfracx2r) = sin!l(tfracN x2r)sin!l(tfracx2r) ;e^,il(N x2-x2r) = sin!l(tfracN x2r)sin!l(tfracx2r) ;e^,i(N-1)x2

Passo 5

Como
S = sumn=0^N-1e^i n x = sumn=0^N-1cos(nx) ;+; isumn=0^N-1sin(nx),
basta separar parte real e imaginária de
S = sin(tfracN x2)sin(tfracx2),e^,i(N-1)x2.

Resposta

(a) sumn=0^N-1cos(nx) = sinl(tfracN x2r)sinl(tfracx2r) cos!l((N-1)x2r).
(b) sumn=0^N-1sin(nx) = sinl(tfracN x2r)sinl(tfracx2r) sin!l((N-1)x2r).

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