6.1.7 Prove que
(a) \sum_{n=0}^{N-1} \cos n x=\frac{\operatorname{sen}(N x / 2)}{\operatorname{sen} x / 2} \cos (N-1) \frac{x}{2},
(b) \sum_{n=0}^{N-1} \operatorname{sen} n x=\frac{\operatorname{sen}(N x / 2)}{\operatorname{sen} x / 2} \operatorname{sen}(N-1) \frac{x}{2}.
Essas séries ocorrem na análise do padrão de difração de fenda múltipla. Uma outra aplicação é a análise do fenômeno de Gibbs, Seção 14.5.
Sugestão: As partes (a) e (b) podem ser combinadas para formar uma série geométrica (compare com a Seção a 5.1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as fórmulas fechadas das somas parciais
\sum_{n=0}^{N-1}\cos(nx) e \sum_{n=0}^{N-1}\sin(nx).
O truque é usar a identidade de Euler
e^{i n x} = \cos(nx) + i\,\sin(nx)
e somar a série geométrica
\sum_{n=0}^{N-1}e^{i n x}. A partir dela extraímos parte real e imaginária para obter (a) e (b).

Passo 2

Definimos
S = \sum_{n=0}^{N-1} e^{i n x}.
Como é uma série geométrica com razão r=e^{i x}, vale
S = \frac{1 - e^{i N x}}{1 - e^{i x}}.

Passo 3

Reescrevemos numerador e denominador em termos de seno usando
e^{i\alpha}-e^{-i\alpha} = 2i\sin(\alpha).
Temos
1 - e^{i N x} = -\bigl(e^{i N x} - 1\bigr) = -e^{i\frac{N x}{2}}\bigl(e^{i\frac{N x}{2}} - e^{-i\frac{N x}{2}}\bigr) = -2i\,e^{i\frac{N x}{2}}\sin\!\Bigl(\frac{N x}{2}\Bigr),
1 - e^{i x} = -2i\,e^{i\frac{x}{2}}\sin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr).

Passo 4

Substituindo em S, os fatores -2i se cancelam e obtemos
S = \frac{-2i\,e^{i\frac{N x}{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{N x}{2}\bigr)} {-2i\,e^{i\frac{x}{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} = \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{N x}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} \;e^{\,i\bigl(\frac{N x}{2}-\frac{x}{2}\bigr)} = \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{N x}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} \;e^{\,i\frac{(N-1)x}{2}}.

Passo 5

Como
S = \sum_{n=0}^{N-1}e^{i n x} = \sum_{n=0}^{N-1}\cos(nx) \;+\; i\sum_{n=0}^{N-1}\sin(nx),
basta separar parte real e imaginária de
\displaystyle S = \frac{\sin(\tfrac{N x}{2})}{\sin(\tfrac{x}{2})}\,e^{\,i\frac{(N-1)x}{2}}.

Resposta

(a) \displaystyle \sum_{n=0}^{N-1}\cos(nx) = \frac{\sin\bigl(\tfrac{N x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} \cos\!\Bigl(\frac{(N-1)x}{2}\Bigr).
(b) \displaystyle \sum_{n=0}^{N-1}\sin(nx) = \frac{\sin\bigl(\tfrac{N x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} \sin\!\Bigl(\frac{(N-1)x}{2}\Bigr).

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