6.1.7 Prove que
(a)
,
(b)
.
Essas séries ocorrem na análise do padrão de difração de fenda múltipla. Uma outra aplicação é a análise do fenômeno de Gibbs, Seção 14.5.
Sugestão: As partes (a) e (b) podem ser combinadas para formar uma série geométrica (compare com a Seção a 5.1).
(a)
(b)
Sugestão: As partes (a) e (b) podem ser combinadas para formar uma série geométrica (compare com a Seção a 5.1).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar as fórmulas fechadas das somas parciais
e
.
O truque é usar a identidade de Euler
O truque é usar a identidade de Euler
e somar a série geométrica
. A partir dela extraímos parte real e imaginária para obter (a) e (b).
Passo 2
Definimos
Como é uma série geométrica com razão
, vale
Passo 3
Reescrevemos numerador e denominador em termos de seno usando
Temos
Passo 4
Substituindo em
, os fatores
se cancelam e obtemos
Passo 5
Como
basta separar parte real e imaginária de
.
Resposta
(a)
.
(b)
.