Prove que em um paralelepípedo retângulo a soma dos quadrados das quatro diagonais é igual à soma dos quadrados das doze arestas.
Passo 1
A gente tem um paralelepípedo retângulo cujas arestas têm comprimentos
,
e
. O que precisamos mostrar é que
O conteúdo aqui é simplesmente contar quantas arestas e diagonais existem e usar o teorema de Pitágoras em três dimensões para achar o quadrado da diagonal.
Passo 2
Vamos computar a soma dos quadrados das arestas. Há exatamente quatro arestas de cada comprimento
,
e
. Logo,
Passo 3
Agora o quadrado de cada diagonal espacial. Uma diagonal liga vértices opostos, atravessando as três dimensões
,
e
. Pelo teorema de Pitágoras em 3D, se chamarmos esse comprimento de
, então
Passo 4
Como existem quatro diagonais espaciais congruentes, a soma de seus quadrados é
Passo 5
Comparando as duas somas vemos que ambas valem
. Portanto, fica provado que a soma dos quadrados das quatro diagonais é igual à soma dos quadrados das doze arestas.
Resposta
Foi demonstrado que
ambas iguais a
.