Prove que em um paralelepípedo retângulo a soma dos quadrados das quatro diagonais é igual à soma dos quadrados das doze arestas.

Passo 1

A gente tem um paralelepípedo retângulo cujas arestas têm comprimentos a, b e c. O que precisamos mostrar é que
sum4 diagonais(comprimento)^2 ;=;sum12 arestas(comprimento)^2
O conteúdo aqui é simplesmente contar quantas arestas e diagonais existem e usar o teorema de Pitágoras em três dimensões para achar o quadrado da diagonal.

Passo 2

Vamos computar a soma dos quadrados das arestas. Há exatamente quatro arestas de cada comprimento a, b e c. Logo,
sum12 arestas(comprimento)^2 ;=;4a^2 ;+;4b^2 ;+;4c^2 ;=;4l(a^2+b^2+c^2r)

Passo 3

Agora o quadrado de cada diagonal espacial. Uma diagonal liga vértices opostos, atravessando as três dimensões a, b e c. Pelo teorema de Pitágoras em 3D, se chamarmos esse comprimento de d, então
d^2 ;=;a^2 + b^2 + c^2

Passo 4

Como existem quatro diagonais espaciais congruentes, a soma de seus quadrados é
sum4 diagonaisd^2 ;=;4,d^2 ;=;4l(a^2+b^2+c^2r)

Passo 5

Comparando as duas somas vemos que ambas valem 4(a^2+b^2+c^2). Portanto, fica provado que a soma dos quadrados das quatro diagonais é igual à soma dos quadrados das doze arestas.

Resposta

Foi demonstrado que
sum4 diagonais(comprimento)^2 ;=;sum12 arestas(comprimento)^2,
ambas iguais a 4(a^2+b^2+c^2).

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