Prove que, se o polinômio na variável x
P(x)=a0 x^n+a1 x^n-1+a2 x^n-2+ldots+an
assume valor numérico zero para n+1 valores distintos de x, então P(x) equiv 0.

Passo 1

O enunciado afirma que um polinômio em x de grau no máximo n, dado por
P(x)=a0x^n+a1x^n-1+cdots+an,
assume valor zero em n+1 pontos distintos. Precisamos provar que então P(x)equiv0. O conteúdo central é o teorema do fator e o princípio de que um polinômio não nulo de grau d pode ter no máximo d raízes.

Passo 2

Vamos provar, por indução sobre o grau d de um polinômio não nulo, que ele tem no máximo d raízes.

Passo 3

Caso base ( d=0): um polinômio de grau zero é da forma P(x)=c, com cneq0. Nesse caso não existe x tal que P(x)=0, logo o número de raízes é <=0. Se c=0, o polinômio já é identicamente nulo.

Passo 4

Passo indutivo: suponha que todo polinômio não nulo de grau <= d-1 tenha no máximo d-1 raízes. Seja agora P(x) de grau exato d>=1 e suponha que x1 seja uma de suas raízes. Pelo teorema do fator existe Q(x) de grau d-1 tal que
P(x)=(x - x1),Q(x)
Para cada outra raiz xjneq x1 temos
0=P(xj)=(xj-x1),Q(xj)Longrightarrow Q(xj)=0,
pois xj-x1neq0. Assim Q teria pelo menos d raízes distintas, o que contradiz a hipótese de indução (que diz #raízes de Q<= d-1í). Logo Q(x)equiv0 e, em consequência, P(x)equiv0.

Passo 5

Concluímos que não existe polinômio não nulo de grau <= n que se anule em n+1 pontos distintos. Portanto, se P tem n+1 raízes distintas, deve ser o polinômio nulo.

Resposta

P(x)equiv 0.

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