Prove que, se o polinômio na variável
assume valor numérico zero para
valores distintos de
, então
.
assume valor numérico zero para
Passo 1
O enunciado afirma que um polinômio em
de grau no máximo
, dado por
assume valor zero em
pontos distintos. Precisamos provar que então
. O conteúdo central é o teorema do fator e o princípio de que um polinômio não nulo de grau
pode ter no máximo
raízes.
Passo 2
Vamos provar, por indução sobre o grau
de um polinômio não nulo, que ele tem no máximo
raízes.
Passo 3
Caso base (
): um polinômio de grau zero é da forma
, com
. Nesse caso não existe
tal que
, logo o número de raízes é
. Se
, o polinômio já é identicamente nulo.
Passo 4
Passo indutivo: suponha que todo polinômio não nulo de grau
tenha no máximo
raízes. Seja agora
de grau exato
e suponha que
seja uma de suas raízes. Pelo teorema do fator existe
de grau
tal que
Para cada outra raiz
temos
pois
. Assim
teria pelo menos
raízes distintas, o que contradiz a hipótese de indução (que diz
). Logo
e, em consequência,
.
Passo 5
Concluímos que não existe polinômio não nulo de grau
que se anule em
pontos distintos. Portanto, se
tem
raízes distintas, deve ser o polinômio nulo.