Resolva os sistemas pela regra de Cramer:
.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
-x + y - z = 5, x + 2y + 4z = 4, 3x + y - 2z = -3,
e pede para resolver usando a regra de Cramer. Em Cramer, primeiro calculamos o determinante D da matriz dos coeficientes e depois os determinantes Dx, Dy e Dz, onde substituímos a coluna correspondente pelas constantes do lado direito. Finalmente, x=DxD,,y=DyD,,z=DzD.

Passo 2

Calcular o determinante D da matriz dos coeficientes
A = -1 & 1 & -1 1 & 2 & 4 3 & 1 & -2
Pela regra de Sarrus ou expansão pela primeira linha,
D = -1cdotl(2cdot(-2)-4cdot1r) -1cdotl(1cdot(-2)-4cdot3r) +(-1)cdotl(1cdot1-2cdot3r)
Calculando cada parte:
2cdot(-2)-4cdot1 = -4-4 = -8, 1cdot(-2)-4cdot3 = -2-12 = -14, 1cdot1-2cdot3 = 1-6 = -5
Logo
D = -1cdot(-8) -1cdot(-14) +(-1)cdot(-5) = 8 + 14 + 5 = 27

Passo 3

Calcular Dx substituindo a primeira coluna pelos termos independentes (5,4,-3):
Dx = 5 & 1 & -1 4 & 2 & 4 -3 &1 & -2 = 5l(2cdot(-2)-4cdot1r) -1l(4cdot(-2)-4cdot(-3)r) +(-1)l(4cdot1-2cdot(-3)r)
Já sabemos que 2cdot(-2)-4cdot1=-8. Além disso,
4cdot(-2)-4cdot(-3) = -8+12 = 4, 4cdot1-2cdot(-3) = 4+6 =10
Então
Dx = 5cdot(-8) -1cdot4 +(-1)cdot10 = -40 -4 -10 = -54

Passo 4

Calcular Dy substituindo a segunda coluna pelos termos independentes:
Dy = -1 & 5 & -1 1 & 4 & 4 3 & -3 & -2 = -1l(4cdot(-2)-4cdot(-3)r) -5l(1cdot(-2)-4cdot3r) +(-1)l(1cdot(-3)-4cdot3r)
Já calculamos acima 4cdot(-2)-4cdot(-3)=4 e 1cdot(-2)-4cdot3=-14. Além disso,
1cdot(-3)-4cdot3 = -3-12 = -15
Portanto
Dy = -1cdot4 -5cdot(-14) +(-1)cdot(-15) = -4 +70 +15 = 81

Passo 5

Calcular Dz substituindo a terceira coluna pelos termos independentes:
Dz = -1 & 1 & 5 1 & 2 & 4 3 & 1 & -3 = -1l(2cdot(-3)-4cdot1r) -1l(1cdot(-3)-4cdot3r) +5l(1cdot1-2cdot3r)
Calculamos
2cdot(-3)-4cdot1 = -6-4 = -10, 1cdot(-3)-4cdot3 = -3-12 = -15, 1cdot1-2cdot3 = 1-6 = -5
Assim
Dz = -1cdot(-10) -1cdot(-15) +5cdot(-5) = 10 +15 -25 = 0

Passo 6

Aplicando a regra de Cramer:
x = DxD = -5427 = -2, y = DyD = 8127 = 3, z = DzD = 027 = 0

Resposta

x = -2,;y = 3,;z = 0.

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