Seja p neq 5 um número primo ímpar. Prove que 10 mid(p^2-1) ou 10 mid(p^2+1).

Passo 1

O enunciado: seja p primo ímpar com pneq5. Mostrar que 10mid(p^2-1) ou 10mid(p^2+1). Vamos usar aritmética modular, em particular divisibilidade por 2 e por 5, e o Teorema de Fermat.

Passo 2

Como p é ímpar, p^2 também é ímpar. Portanto
2mid(p^2-1)
e
2mid(p^2+1)

Passo 3

Como p e 5 são primos distintos, o Teorema de Fermat dá
p^4equiv1pmod5
Logo
(p^2-1)(p^2+1)equiv0pmod5,
o que implica que ou
p^2equiv1pmod5
ou
p^2equiv-1pmod5

Passo 4

Se p^2equiv1pmod5, então
5mid(p^2-1)
e já vimos que
2mid(p^2-1),
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10mid(p^2-1)
Caso p^2equiv-1pmod5, então
5mid(p^2+1)
e já vimos que
2mid(p^2+1),
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10mid(p^2+1)

Resposta

Para todo primo ímpar pneq5, vale ou 10mid(p^2-1) ou 10mid(p^2+1).

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