Resolução: Vamos supor mdc e seja um divisor primo de d. Então p e p ; daí p , pois . Como p é primo, então p ou p . Se , como , então , o que nāo é possível. Logo (ou ) e o único fator primo positivo de d é 3 . Provemos que o expoente de 3 em d é 1 , ou seja, que . Se , entāo e ; daí e ; logo, , do que resulta . Absurdo. Donde, se , entāo .
Passo 1
O problema pede para todo inteiro mostrar que
Vamos usar que qualquer divisor comum de dois inteiros divide também qualquer combinação linear deles.
Passo 2
Seja e suponha . Escolha um primo que divide . Então
Como também , segue
Passo 3
Do fato pmid3n, como p é primo, temos duas possibilidades:
pmid3, ou
pmid n.
Se pmid n, então pmid(n^2+n+1) implica
p;l|;(n^2+n+1)-n(n+1) ;=;1,
impossível. Logo deve ser pmid3, ou seja, p=3. Assim o único primo que divide d é 3.
Passo 4
Resta ver que 3^2=9 não pode dividir d. Suponha, por absurdo, que 9mid(n-1) e 9mid(n^2+n+1). Escreva n=9r+1. Então