Uma velhinha pergunta a um matemático quais são os números das linhas de ônibus que passam pelo Instituto de Matemática. Este responde que se lembra apenas que os números são de três algarismos distintos, cada um dos algarismos representando um número primo. Além disso, os números das linhas não são divisíveis por 2, por 3 ou por 5. A velha senhora conclui prontamente que o número de linhas de ônibus que passam pelo Instituto é :
(a) 4
(b) 3
(c) 2
(d) 1
(e) 0

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos números de três dígitos distintos, cada dígito sendo um número primo, satisfazem ainda que não sejam divisíveis por 2, por 3 nem por 5.

Passo 2

Como cada dígito deve ser primo, ele vem do conjunto 2,3,5,7. Precisamos formar números de 3 dígitos distintos desse conjunto.

Passo 3

Para não serem divisíveis por 2 nem por 5, o algarismo das unidades não pode ser nem 2 nem 5. Logo ele só pode ser
3,7

Passo 4

Fixado o dígito das unidades (que tem 2 opções), restam 3 dígitos do conjunto original para escolher as centenas e as dezenas. Destes 3 escolhemos 2 (ordem importa), gerando
binom32times 2! =3times2=6
possibilidades para cada escolha das unidades, totalizando 2times6=12 números candidatos.

Passo 5

Falta excluir os múltiplos de 3: a soma dos dígitos não pode ser múltipla de 3. Fazendo a checagem rápida por caso da unidade:
  • Unidade =3, possíveis pares 2,5,2,7,5,7. Só 2,5 dá soma 2+5+3=10notequiv0pmod3, gerando 2 números.
  • Unidade =7, pares 2,3,2,5,3,5. Só 2,5 dá soma 2+5+7=14notequiv0pmod3, gerando 2 números.
    No total restam 2+2=4 números.

Resposta

(a) 4

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