Prove que a razão entre o volume de qualquer cone (circular reto) e o volume da esfera inscrita é superior ou igual a dois.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer cone circular reto de raio da base
e altura
, vale
onde
é o volume do cone e
é o volume da esfera inscrita nesse cone.
Conteúdo usado: fórmula de volume do cone, volume da esfera, e geometria (incírculo de triângulo direito).
Conteúdo usado: fórmula de volume do cone, volume da esfera, e geometria (incírculo de triângulo direito).
Passo 2
O volume do cone de base circular de raio
e altura
é
Passo 3
Para achar o raio
da esfera inscrita, note que em seção mediana vertical o cone gera um triângulo retângulo de catetos
e
. O raio do incírculo desse triângulo é
Logo o volume da esfera inscrita é
Passo 4
Formamos a razão
Passo 5
Defina a razão adimensional
Então
Para concluir precisamos mostrar
Passo 6
A desigualdade é equivalente a
Reescrevendo
Defina
Note que
. Se mostrarmos
para todo
, então
é crescente e segue
, o que dá a desigualdade desejada.
Passo 7
Calcule
Usamos a estimativa
, logo
Assim
Basta ver que
Escreva
. Então
Considere
. Tem-se
e verifica-se que
e
. Logo
para todo
, e assim
. Logo
em
e
.
Resposta
Portanto
para todo cone circular reto, como se queria demonstrar.