Prove que a razão entre o volume de qualquer cone (circular reto) e o volume da esfera inscrita é superior ou igual a dois.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer cone circular reto de raio da base R>0 e altura h>0, vale
VconeVesf;>=2,
onde Vcone é o volume do cone e Vesf é o volume da esfera inscrita nesse cone.
Conteúdo usado: fórmula de volume do cone, volume da esfera, e geometria (incírculo de triângulo direito).

Passo 2

O volume do cone de base circular de raio R e altura h é
Vcone ;=;13,pi,R^2h

Passo 3

Para achar o raio r da esfera inscrita, note que em seção mediana vertical o cone gera um triângulo retângulo de catetos h e R. O raio do incírculo desse triângulo é
r ;=;h + R - raizh^2+R^22
Logo o volume da esfera inscrita é
Vesf=43,pi,r^3

Passo 4

Formamos a razão
VconeVesf =tfrac13pi R^2htfrac43pi,r^3 =R^2h4,r^3

Passo 5

Defina a razão adimensional
x = Rh>0
Então
r ;=;h,x + 1 - raiz1+x^22 Longrightarrow R^2h4,r^3 =R^2h4,l[h,(x+1-raiz1+x^2)/2r]^3 =2,x^2l(1+x-raiz1+x^2r)^3
Para concluir precisamos mostrar
2,x^2l(1+x-raiz1+x^2r)^3;>=;2 Long<=ftrightarrow x^2;>=;l(1+x-raiz1+x^2r)^3

Passo 6

A desigualdade é equivalente a
1+x-raiz1+x^2;<=;x^2/3
Reescrevendo
raiz1+x^2 + x^2/3;>=;1+x
Defina
g(x)=raiz1+x^2 + x^2/3 - (1+x)
Note que g(0)=0. Se mostrarmos g'(x)>0 para todo x>0, então g é crescente e segue g(x)>= g(0)=0, o que dá a desigualdade desejada.

Passo 7

Calcule
g'(x) =xraiz1+x^2+23,x^-1/3-1
Usamos a estimativa
raiz1+x^2<= x+1, logo
xraiz1+x^2;>=;xx+1
Assim
g'(x) ;>=; xx+1 ;+;23x^-1/3;-;1 =tfrac23x^-1/3(x+1)-1,x+1,
Basta ver que
h(x)=23,x^-1/3(x+1);-;1>0 forall,x>0
Escreva t=x^1/3>0. Então
h(x)=23,l(t^2+tfrac1tr)-1 Longrightarrow 23l(t^2+tfrac1tr)>1 ;Long<=ftrightarrow; t^3-tfrac32t+1>0
Considere f(t)=t^3-tfrac32t+1. Tem-se
f'(t)=3t^2-tfrac32, f'(t)=0iff t=raiztfrac12,
e verifica-se que fl(raiztfrac12r)>0 e f(0)=1>0. Logo f(t)>0 para todo t>0, e assim h(x)>0. Logo g'(x)>0 em (0,infty) e g(x)>=0.

Resposta

Portanto
VconeVesf;>=;2
para todo cone circular reto, como se queria demonstrar.

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