Prove que, se uma reta se desloca de modo que a soma dos inversos das medidas dos segmentos por ela determinados sobre os eixos seja 1k (constante), então a reta passa por um ponto fixo P do plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado diz que consideramos uma reta que corta o eixo x em A(b,0) e o eixo y em B(0,c), de modo que
1b+1c=1k,
onde k é uma constante. O objetivo é mostrar que todas essas retas passam por um mesmo ponto P fixo no plano.

Passo 2

Uma forma natural de escrever a equação de qualquer reta com interceptos b e c é a forma reduzida por interceptos. Assim, a reta que passa por A(b,0) e B(0,c) satisfaz
xb+yc=1

Passo 3

Para verificar que um ponto (x0,y0) pertence a essa reta, basta substituir (x,y)=(x0,y0) na equação tfracxb+tfracyc=1. Queremos encontrar (x0,y0) que funcione para todo par (b,c) respeitando tfrac1b+tfrac1c=tfrac1k. Vamos testar (x0,y0)=(k,k):
kb+kc =kl(1b+1cr) =kcdot1k =1
Logo, (k,k) satisfaz a equação da reta para quaisquer b,c que cumpram tfrac1b+tfrac1c=tfrac1k.

Passo 4

Concluímos que todo par de interceptos (b,0) e (0,c) ligados pela condição tfrac1b+tfrac1c=tfrac1k gera uma reta que contém sempre o ponto (k,k). Portanto, esse ponto é fixo para todas as retas do enunciado.

Resposta

O ponto fixo é P=(k,k).

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