Prove que, se uma reta se desloca de modo que a soma dos inversos das medidas dos segmentos por ela determinados sobre os eixos seja
(constante), então a reta passa por um ponto fixo P do plano cartesiano.
Passo 1
O enunciado diz que consideramos uma reta que corta o eixo
em
e o eixo
em
, de modo que
onde
é uma constante. O objetivo é mostrar que todas essas retas passam por um mesmo ponto
fixo no plano.
Passo 2
Uma forma natural de escrever a equação de qualquer reta com interceptos
e
é a forma reduzida por interceptos. Assim, a reta que passa por
e
satisfaz
Passo 3
Para verificar que um ponto
pertence a essa reta, basta substituir
na equação
. Queremos encontrar
que funcione para todo par
respeitando
. Vamos testar
:
Logo,
satisfaz a equação da reta para quaisquer
que cumpram
.
Passo 4
Concluímos que todo par de interceptos
e
ligados pela condição
gera uma reta que contém sempre o ponto
. Portanto, esse ponto é fixo para todas as retas do enunciado.
Resposta
O ponto fixo é
.