Prove as seguintes afirmações:
Os divisores primos ímpares de um inteiro
sāo da forma
Os divisores primos ímpares de um inteiro
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um divisor primo ímpar de
, então necessariamente
O conteúdo principal que vamos usar é o Pequeno Teorema de Fermat e propriedades de congruências.
Passo 2
Seja
um primo ímpar tais que
Como
é primo e
, então
não pode dividir
(caso dividisse, dividira também
), de modo que podemos aplicar o Pequeno Teorema de Fermat em
.
Passo 3
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, para
vale
Por outro lado, da hipótese
elevamos ambos os lados à potência
:
Passo 4
Combinando as duas congruências para
obtemos
Mas
só pode ser
ou
como inteiro, e para ser congruente a
modulo
(com
) deve ser exatamente
. Logo
o que implica que
é um número par, ou seja,
é múltiplo de
.
Passo 5
Se
é múltiplo de
, então podemos escrever
para algum
, de onde
Resposta
Todo divisor primo ímpar de
é da forma
.