Prove as seguintes afirmações:
Os divisores primos ímpares de um inteiro n^2+1 sāo da forma 4 k+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se p é um divisor primo ímpar de n^2+1, então necessariamente
pequiv1pmod4
O conteúdo principal que vamos usar é o Pequeno Teorema de Fermat e propriedades de congruências.

Passo 2

Seja p um primo ímpar tais que
pmid n^2+1
Como p é primo e pmid n^2+1, então p não pode dividir n (caso dividisse, dividira também 1), de modo que podemos aplicar o Pequeno Teorema de Fermat em n.

Passo 3

Pelo Pequeno Teorema de Fermat, para pnmid n vale
n^p-1equiv1pmod p
Por outro lado, da hipótese n^2equiv-1pmod p elevamos ambos os lados à potência (p-1)/2:
n^p-1=l(n^2r)^p-12equiv(-1)^p-12pmod p

Passo 4

Combinando as duas congruências para n^p-1 obtemos
(-1)^p-12equiv1pmod p
Mas (-1)^p-12 só pode ser 1 ou -1 como inteiro, e para ser congruente a 1 modulo p (com |(-1)^p-12|<=1<p) deve ser exatamente +1. Logo
(-1)^p-12=1
o que implica que tfracp-12 é um número par, ou seja, p-1 é múltiplo de 4.

Passo 5

Se p-1 é múltiplo de 4, então podemos escrever p-1=4k para algum kinZ, de onde
p=4k+1

Resposta

Todo divisor primo ímpar de n^2+1 é da forma 4k+1.

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