Mostre que varphi(m^2)=m varphi(m), para todo m >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro m>=1, vale
varphil(m^2r)=m,varphi(m)
O conteúdo que vamos usar é a fatorização prima de m e o fato de que a função totiente de Euler varphi é multiplicativa, além da fórmula explícita para varphi em potências de primo.

Passo 2

Escrevemos a decomposição em primos de m. Suponha
m = p1^alpha1 , p2^alpha2 cdots pr^alphar,
com p1,dots,pr primos distintos e alphai>=1.

Passo 3

Pela multiplicatividade de varphi, temos
varphi(m)=prodi=1^rvarphil(pi^alphair)
E sabemos que, para todo primo p e inteiro alpha>=1,
varphil(p^alphar) = p^alpha - p^alpha-1 = p^alpha-1(p-1)

Passo 4

Agora calculamos varphi(m^2). Como m^2 = prodi=1^r pi^2alphai e varphi é multiplicativa,
varphil(m^2r) =prodi=1^r varphil(pi^2alphair)
Usando a fórmula para potências de primo,
varphil(pi^2alphair) = pi^2alphai-pi^2alphai-1 = pi^2alphai-1(pi-1)
Mas observe que
pi^2alphai-1(pi-1) = pi^alphai,l(pi^alphai-1(pi-1)r) = pi^alphai,varphil(pi^alphair)
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varphil(m^2r) =prodi=1^rl(pi^alphai,varphi(pi^alphai)r) =l(prodi=1^r pi^alphair), l(prodi=1^r varphi(pi^alphai)r) = m,varphi(m)

Resposta

varphi(m^2)=m,varphi(m) para todo m>=1.

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