Mostre que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, vale
O conteúdo que vamos usar é a fatorização prima de
e o fato de que a função totiente de Euler
é multiplicativa, além da fórmula explícita para
em potências de primo.
Passo 2
Escrevemos a decomposição em primos de
. Suponha
com
primos distintos e
.
Passo 3
Pela multiplicatividade de
, temos
E sabemos que, para todo primo
e inteiro
,
Passo 4
Agora calculamos
. Como
e
é multiplicativa,
Usando a fórmula para potências de primo,
Mas observe que
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