43.3 Prove que para uma sequência aritmética o n-ésimo termo é dado por an=a1+(n-1) d.
Uma sequência aritmética é definida pela relação an=an-1+d. Seja Pn a sentença que an=a1+(n-1) d e proceda por indução matemática.
P1 é a sentença a1=a1+(1-1) d.
Pk é a sentença ak=a1+(k-1) d.
Pk+1 é a sentença ak+1=a1+[(k+1)-1] d, a qual pode ser reescrita como
ak+1=a1+k d
P1 é obviamente verdadeira. Assuma como verdadeira Pk e observe que pela definição de uma sequência aritmética, ak+1=ak+d. Por essa razão
ak+1=ak+d=a1+(k-1) d+d=a1+k d
Mas, ak+1=a1+k d é precisamente a sentença Pk+1. Por essa razão, a validade de Pk+1 segue da validade de Pk. Portanto, pelo princípio de indução matemática, Pn é válida para todo n.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, por indução matemática, que uma sequência aritmética definida por
an = an-1 + d
satisfaz
an = a1 + (n-1),d
Chamamos de Pn a afirmação “ an = a1 + (n-1)d” e vamos provar Pn para todo n>=1.

Passo 2

(Base da indução) Para n=1, a proposição P1 diz
a1 = a1 + (1-1),d = a1 + 0cdot d = a1,
o que é obviamente verdadeiro.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que Pk seja verdadeira para algum k>=1, isto é,
ak = a1 + (k-1),d
Pela definição da sequência aritmética, temos
ak+1 = ak + d
Substituindo a hipótese indutiva:
ak+1 = l(a1 + (k-1),dr) + d = a1 + k,d
Isso mostra que Pk+1 vale.

Passo 4

Como P1 é verdadeira e Pkimplies Pk+1, pelo princípio da indução matemática concluímos que Pn vale para todo n>=1.

Resposta

an = a1 + (n-1),d

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