43.3 Prove que para uma sequência aritmética o
-ésimo termo é dado por
.
Uma sequência aritmética é definida pela relação
. Seja
a sentença que
e proceda por indução matemática.
é a sentença
.
é a sentença
.
é a sentença
, a qual pode ser reescrita como
é obviamente verdadeira. Assuma como verdadeira
e observe que pela definição de uma sequência aritmética,
. Por essa razão
Mas,
é precisamente a sentença
. Por essa razão, a validade de
segue da validade de
. Portanto, pelo princípio de indução matemática,
é válida para todo
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, por indução matemática, que uma sequência aritmética definida por
satisfaz
Chamamos de
a afirmação “
” e vamos provar
para todo
.
Passo 2
(Base da indução) Para
, a proposição
diz
o que é obviamente verdadeiro.
Passo 3
(Passo indutivo) Suponha que
seja verdadeira para algum
, isto é,
Pela definição da sequência aritmética, temos
Substituindo a hipótese indutiva:
Isso mostra que
vale.
Passo 4
Como
é verdadeira e
, pelo princípio da indução matemática concluímos que
vale para todo
.