converge uniformemente em todo intervalo limitado, mas não converge absolutamente em nenhum .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
converge uniformemente em todo intervalo limitado, mas não converge absolutamente para nenhum .
Conteúdo: vamos usar o Critério de Leibniz uniformizado (alternating series test) e, para a não convergência absoluta, comparar com a série harmônica.
Passo 2
Defina
então o termo da série é . Note que, para todo ,
ou seja, é monotona decrescente em .
Passo 3
Em todo intervalo limitado temos
e como
seguimos que bn(x)to0 uniformemente em [-M,M].
Passo 4
Pelo Critério de Leibniz uniformizado, se bn(x) é decrescente em n e bn(x)to0 uniformemente num intervalo, então
sumn=1^infty(-1)^nbn(x)
converge uniformemente nesse intervalo. Assim, nossa série converge uniformemente em qualquer intervalo [-M,M].