Prove que a série
sumn=1^infty(-1)^n x^2+nn^2
converge uniformemente em todo intervalo limitado, mas não converge absolutamente em nenhum x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty(-1)^nx^2+nn^2
converge uniformemente em todo intervalo limitado, mas não converge absolutamente para nenhum x.
Conteúdo: vamos usar o Critério de Leibniz uniformizado (alternating series test) e, para a não convergência absoluta, comparar com a série harmônica.

Passo 2

Defina
bn(x)=x^2+nn^2=1n+x^2n^2,
então o termo da série é an(x)=(-1)^nbn(x). Note que, para todo x,
bn+1(x)=1n+1+x^2(n+1)^2 <1n+x^2n^2=bn(x),
ou seja, bn(x) é monotona decrescente em n.

Passo 3

Em todo intervalo limitado [-M,M] temos
0<= bn(x)<=1n+M^2n^2,
e como
sup|x|<= Mbn(x)=1n+M^2n^2xrightarrow[ntoinfty]0,
seguimos que bn(x)to0 uniformemente em [-M,M].

Passo 4

Pelo Critério de Leibniz uniformizado, se bn(x) é decrescente em n e bn(x)to0 uniformemente num intervalo, então
sumn=1^infty(-1)^nbn(x)
converge uniformemente nesse intervalo. Assim, nossa série converge uniformemente em qualquer intervalo [-M,M].

Passo 5

Para a convergência absoluta, considere
sumn=1^inftyl|an(x)r| =sumn=1^inftybn(x) =sumn=1^inftyl(1n+x^2n^2r)
A parte sum x^2/n^2 converge, mas sum1/n diverge (série harmônica). Logo sum|an(x)| diverge para todo x, ou seja, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge uniformemente em todo intervalo limitado e não converge absolutamente para nenhum x.

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