Prove que, para todo n >= 0 :
c) 3 mid[2^n+(-1)^n+1]

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo n>= 0, vale a divisibilidade
3midl[2^n+(-1)^n+1r]
O conteúdo usado será aritmética modular, em particular congruências mod 3.

Passo 2

Primeiro, observamos que
2 equiv -1 pmod3,
pois 2 - (-1)=3 é múltiplo de 3.

Passo 3

Elevando a congruência anterior à n-ésima potência, obtemos
2^nequiv(-1)^npmod3

Passo 4

Agora analisamos a soma no módulo 3:
2^n+(-1)^n+1equiv(-1)^n+(-1)^n+1 =;(-1)^nl[1+(-1)r] =;(-1)^ncdot 0 equiv 0pmod3

Passo 5

Como a expressão é congruente a zero módulo 3, concluímos que
3midl[2^n+(-1)^n+1r]
para todo n>= 0.

Resposta

Concluímos que, para todo n>= 0, tem-se ,3midl[2^n+(-1)^n+1r].

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