Seja a in Z, a neq 0. Prove por indução que: i) (-a)^n=a^n, para todo n >= 0 par; ii) (-a)^n=-a^n, para todo n >= 1 impar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando indução, duas propriedades sobre potências de -a em função da paridade de n:
i) para todo n>=0 par vale
(-a)^n = a^n,
ii) para todo n>=1 ímpar vale
(-a)^n = -a^n
O método será indução sobre o inteiro k, escrevendo n=2k em (i) e n=2k+1 em (ii), de modo a dar um “passo de 2” na indução.

Passo 2

Prova de (i): definimos P(k) como a afirmação
(-a)^2k = a^2k
Base ( k=0): temos 2k=0 e
(-a)^0 = 1 = a^0,
logo P(0) é verdadeira.
Passo indutivo: suponha P(k), isto é, (-a)^2k=a^2k. Então para k+1
(-a)^2(k+1) = (-a)^2k+2 = (-a)^2kcdot(-a)^2
pelo fato de ,(xy)^m=x^m y^m. Como (-a)^2=a^2 e pela hipótese indutiva,
(-a)^2k+2 = a^2kcdot a^2 = a^2k+2,
ou seja, P(k+1) vale. Assim, por indução em k, a parte (i) está provada.

Passo 3

Prova de (ii): definimos Q(k) como
(-a)^2k+1 = -,a^2k+1
Base ( k=0): então 2k+1=1 e
(-a)^1 = -a = -,a^1,
logo Q(0) é verdadeira.
Passo indutivo: suponha Q(k), isto é, (-a)^2k+1 = -,a^2k+1. Para k+1 temos
(-a)^2(k+1)+1 = (-a)^2k+3 = (-a)^2k+1cdot(-a)^2
Substituindo (-a)^2=a^2 e a hipótese indutiva,
(-a)^2k+3 = l(-,a^2k+1r)cdot a^2 = -l(a^2k+1cdot a^2r) = -,a^2k+3,
ou seja, Q(k+1) vale. Portanto, por indução em k, a parte (ii) também está provada.

Resposta

As duas afirmações foram demonstradas por indução:
i) (-a)^n=a^n para todo n par;
ii) (-a)^n=-a^n para todo n ímpar.

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