Seja
. Prove por indução que: i)
, para todo
par; ii)
, para todo
impar.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando indução, duas propriedades sobre potências de
em função da paridade de
:
i) para todo par vale
i) para todo
ii) para todo
ímpar vale
O método será indução sobre o inteiro
, escrevendo
em (i) e
em (ii), de modo a dar um “passo de 2” na indução.
Passo 2
Prova de (i): definimos
como a afirmação
Base (
): temos
e
logo
é verdadeira.
Passo indutivo: suponha , isto é,
. Então para
Passo indutivo: suponha
pelo fato de
. Como
e pela hipótese indutiva,
ou seja,
vale. Assim, por indução em
, a parte (i) está provada.
Passo 3
Prova de (ii): definimos
como
Base (
): então
e
logo
é verdadeira.
Passo indutivo: suponha , isto é,
. Para
temos
Passo indutivo: suponha
Substituindo
e a hipótese indutiva,
ou seja,
vale. Portanto, por indução em
, a parte (ii) também está provada.
Resposta
As duas afirmações foram demonstradas por indução:
i) para todo
par;
ii) para todo
ímpar.
i)
ii)