Prove que todo inteiro positivo é igual a diferença entre dois inteiros positivos compostos, porém primos entre si.

Passo 1

Vamos provar que, dado qualquer inteiro positivo n, existem inteiros positivos compostos a e b tais que
a - b = n e gcd(a,b)=1
A ideia é usar o Teorema Chinês dos Restos para construir um inteiro b=k que seja composto, coprimo a n e tal que a=k+n também seja composto.

Passo 2

Seja
n = p1^e1,p2^e2cdots ps^es
a fatoração de n em primos (com s>=1). Escolhemos então três primos adicionais:
– um primo q tal que q > n e q não coincide com nenhum pi,
– um primo r tal que r > q e r não coincide com nenhum pi nem com q.

Passo 3

Consideramos o sistema de congruências para a incógnita
Como os módulos módulo
Tomamos então
com inteiro suficientemente grande, de modo a assegurar .

Passo 4

Mostramos que, com essa escolha de k, as condições pedidas se cumprem:
  1. k é composto porque rmid k e r<k.
  2. gcd(k,n)=1 pois, para cada pimid n, temos kequiv1pmodpi, logo pinmid k.
  3. a = k + n é composto porque qmid(k+n) e q<k+n.
  4. gcd(a,b)=gcd(k+n,k)=gcd(n,k)=1 pelos itens anteriores.
  5. Evidentemente a - b = (k+n)-k = n.

Resposta

Para todo inteiro n>0 construímos
b = k, a = k + n,
onde k resolve o sistema do Passo 3. Então a e b são ambos compostos, gcd(a,b)=1 e a-b=n, como queríamos.

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