Prove que todo inteiro positivo é igual a diferença entre dois inteiros positivos compostos, porém primos entre si.
Passo 1
Vamos provar que, dado qualquer inteiro positivo
, existem inteiros positivos compostos
e
tais que
A ideia é usar o Teorema Chinês dos Restos para construir um inteiro
que seja composto, coprimo a
e tal que
também seja composto.
Passo 2
Seja
a fatoração de
em primos (com
). Escolhemos então três primos adicionais:
– um primo tal que
e
não coincide com nenhum
,
– um primo tal que
e
não coincide com nenhum
nem com
.
– um primo
– um primo
Passo 3
Consideramos o sistema de congruências para a incógnita
Como os módulos módulo
Tomamos então
com
inteiro suficientemente grande, de modo a assegurar
.
Passo 4
Mostramos que, com essa escolha de
, as condições pedidas se cumprem:
-
é composto porque e . -
pois, para cada , temos , logo . -
é composto porque e . -
pelos itens anteriores. - Evidentemente
.
Resposta
Para todo inteiro
construímos
onde
resolve o sistema do Passo 3. Então
e
são ambos compostos,
e
, como queríamos.