Prove a transitividade do paralelismo de planos, isto é, se dois planos são paralelos a um terceiro, então eles são paralelos entre si.

Passo 1

O enunciado pede que a gente prove a transitividade do paralelismo de planos: se dois planos P1 e P2 são paralelos a um terceiro plano P3, então P1 e P2 também são paralelos entre si. Vamos usar a abordagem vetorial, representando cada plano por um vetor normal e lembrando que dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são colineares.

Passo 2

Qualquer plano P em R^3 pode ser descrito por uma equação vetorial
ncdot(r-r0) = 0
onde n é o vetor normal ao plano. Dois planos P e Q são paralelos se, e somente se,
nP paral<=l nQ,
ou seja, seus vetores normais são colineares.

Passo 3

Pela hipótese temos
P1 paral<=l P3, logo
n1 paral<=l n3,
e
P2 paral<=l P3, logo
n2 paral<=l n3
Como o paralelismo de vetores é transitivo, disso segue
n1 paral<=l n2

Passo 4

Aplicando novamente o critério de paralelismo de planos, se
n1 paral<=l n2
então
P1 paral<=l P2.
Assim mostramos que, quando dois planos são paralelos a um terceiro, eles são paralelos entre si.

Resposta

Portanto, P1paral<=l P2.

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