Prove a transitividade do paralelismo de planos, isto é, se dois planos são paralelos a um terceiro, então eles são paralelos entre si.
Passo 1
O enunciado pede que a gente prove a transitividade do paralelismo de planos: se dois planos
e
são paralelos a um terceiro plano
, então
e
também são paralelos entre si. Vamos usar a abordagem vetorial, representando cada plano por um vetor normal e lembrando que dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são colineares.
Passo 2
Qualquer plano
em
pode ser descrito por uma equação vetorial
onde
é o vetor normal ao plano. Dois planos
e
são paralelos se, e somente se,
ou seja, seus vetores normais são colineares.
Passo 3
Pela hipótese temos
, logo
e
, logo
Como o paralelismo de vetores é transitivo, disso segue
Passo 4
Aplicando novamente o critério de paralelismo de planos, se
então
.
Assim mostramos que, quando dois planos são paralelos a um terceiro, eles são paralelos entre si.
então
Assim mostramos que, quando dois planos são paralelos a um terceiro, eles são paralelos entre si.
Resposta
Portanto,
.