PUBLICIDADE O gerente de uma fábrica de calçados estima que, t meses após o início de uma campanha publicitária, S(t) centenas de pares serão vendidos, em que
S(t)=\frac{3}{t+2}-\frac{12}{(t+2)^{2}}+5
a. Determine S^{\prime}(t) e S^{\prime \prime}(t).
b. Em que mês as vendas serão maiores? Qual será o nível máximo de vendas?
c. O gerente pretende encerrar a campanha quando a taxa de aumento do número de vendas atingir o valor mínimo. Em que mês isso vai acontecer? Quais serão, nesse mês, o nível de vendas e a taxa de aumento do nível de vendas?

Passo 1

Temos a função de vendas em centenas de pares
S(t)=\frac{3}{t+2}-\frac{12}{(t+2)^{2}}+5,
onde t é o número de meses desde o início da campanha. Precisamos
  1. calcular S'(t) e S''(t);
  2. determinar quando S atinge valor máximo e qual é esse valor;
  3. achar o mês em que a taxa de aumento S'(t) é mínima e, nesse mês, os valores de S e S'.

Passo 2

Derivando S(t) em relação a t:
S(t)=3(t+2)^{-1}-12(t+2)^{-2}+5.
Aplicando a regra do poder e da constante:
S'(t)=-3\,(t+2)^{-2}+24\,(t+2)^{-3}.
Para simplificar, colocamos sobre o mesmo denominador:
S'(t)=\frac{-3(t+2)+24}{(t+2)^3} =\frac{-3t-6+24}{(t+2)^3} =\frac{-3t+18}{(t+2)^3} =3\;\frac{6-t}{(t+2)^3}.

Passo 3

Agora derivamos S'(t) para obter S''(t). Partindo de
S'(t)=-3(t+2)^{-2}+24(t+2)^{-3},
temos
S''(t)=6\,(t+2)^{-3}-72\,(t+2)^{-4} =\frac{6(t+2)-72}{(t+2)^4} =\frac{6t+12-72}{(t+2)^4} =\frac{6(t-10)}{(t+2)^4}.

Passo 4

Para achar o máximo de S, igualamos S'(t)=0, isto é
-3t+18=0\quad\Longrightarrow\quad t=6.
Verificamos que para t<6 temos S'>0 (cresce) e para t>6, S'<0 (decresce). Logo, o pico ocorre em t=6 meses.
Calculamos
S(6)=\frac{3}{6+2}-\frac{12}{(6+2)^2}+5 =\frac{3}{8}-\frac{12}{64}+5 =0,375-0,1875+5 =5,1875
centenas de pares.

Passo 5

Para encontrar quando a taxa de aumento S'(t) atinge seu valor mínimo, igualamos S''(t)=0:
6(t-10)=0\quad\Longrightarrow\quad t=10.
Como S''(t)<0 para t<10 e >0 para t>10, em t=10 ocorre o valor mínimo de S'(t).
Nesse mês,
S(10)=\frac{3}{12}-\frac{12}{144}+5 =0,25-0,08333+5 =5,16667
centenas de pares, e
S'(10)=3\;\frac{6-10}{12^3} =3\;\frac{-4}{1728} =-\frac{12}{1728} \approx -0,006944
centenas de pares por mês.

Resposta

a)
S'(t)=-3(t+2)^{-2}+24(t+2)^{-3} =3\,\frac{6-t}{(t+2)^3},
S''(t)=6(t+2)^{-3}-72(t+2)^{-4} =\frac{6(t-10)}{(t+2)^4}.
b) As vendas são máximas no mês t=6, com nível S(6)=5{,}1875 centenas de pares.
c) A taxa de aumento é mínima em t=10 meses; nesse mês,
S(10)=5{,}16667\text{ centenas}, \quad S'(10)\approx -0{,}006944\text{ centenas/mês}.ê

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