PUBLICIDADE O gerente de uma fábrica de calçados estima que,
meses após o início de uma campanha publicitária,
centenas de pares serão vendidos, em que
a. Determine
e
.
b. Em que mês as vendas serão maiores? Qual será o nível máximo de vendas?
c. O gerente pretende encerrar a campanha quando a taxa de aumento do número de vendas atingir o valor mínimo. Em que mês isso vai acontecer? Quais serão, nesse mês, o nível de vendas e a taxa de aumento do nível de vendas?
b. Em que mês as vendas serão maiores? Qual será o nível máximo de vendas?
c. O gerente pretende encerrar a campanha quando a taxa de aumento do número de vendas atingir o valor mínimo. Em que mês isso vai acontecer? Quais serão, nesse mês, o nível de vendas e a taxa de aumento do nível de vendas?
Passo 1
Temos a função de vendas em centenas de pares
onde
é o número de meses desde o início da campanha. Precisamos
- calcular
e ; - determinar quando
atinge valor máximo e qual é esse valor; - achar o mês em que a taxa de aumento
é mínima e, nesse mês, os valores de e .
Passo 2
Derivando
em relação a
:
Aplicando a regra do poder e da constante:
Para simplificar, colocamos sobre o mesmo denominador:
Passo 3
Agora derivamos
para obter
. Partindo de
temos
Passo 4
Para achar o máximo de
, igualamos
, isto é
Verificamos que para
temos
(cresce) e para
,
(decresce). Logo, o pico ocorre em
meses.
Calculamos
Calculamos
centenas de pares.
Passo 5
Para encontrar quando a taxa de aumento
atinge seu valor mínimo, igualamos
:
Como
para
e
para
, em
ocorre o valor mínimo de
.
Nesse mês,
Nesse mês,
centenas de pares, e
centenas de pares por mês.
Resposta
a)
b) As vendas são máximas no mês
, com nível
centenas de pares.
c) A taxa de aumento é mínima em meses; nesse mês,
c) A taxa de aumento é mínima em