VENDAS Uma empresa estima que, se
milhares de reais forem investidos na comercialização de certo produto,
unidades do produto serão vendidas, em que
a. Quantas unidades serão vendidas se a empresa não investir em comercialização?
b. Desenhe o gráfico de
. Para que valor de
o gráfico possui um ponto de inflexão? Qual é o significado desse valor de investimento?
b. Desenhe o gráfico de
Passo 1
O enunciado fornece a função de vendas
onde
(em milhares de reais) é o valor investido em comercialização e
é o número de unidades vendidas.
a) Pede-se .
b) Pede-se um esboço do gráfico de , o valor de
para o qual há ponto de inflexão, e o significado desse valor de investimento.
a) Pede-se
b) Pede-se um esboço do gráfico de
Passo 2
Para a alínea (a), basta calcular
Logo, sem investimento a empresa vende
unidades.
Passo 3
Para encontrar o ponto de inflexão, precisamos da segunda derivada de
. Primeiro obtenha a derivada primeira:
Em seguida, a derivada segunda:
Passo 4
O ponto de inflexão ocorre onde
. Assim,
Para ter a ordenada do ponto de inflexão, calcule
:
Portanto o ponto de inflexão é
.
Passo 5
Esboço qualitativo de
:
- É um polinômio de grau
com coeficiente líder negativo, logo tende a para . - Para
pequeno, cresce com concavidade para cima até o ponto de inflexão em . - Após
, continua crescendo (mas agora com concavidade para baixo) até atingir um máximo local em , e depois decresce.
O valor
(isto é, investimento de R$
) é o ponto em que a taxa marginal de vendas deixa de crescer de forma acelerada e passa a crescer de forma desacelerada. Antes desse investimento, cada mil reais adicionais geram ganhos de vendas cada vez maiores; depois desse valor, há retornos marginalmente decrescentes.
Resposta
a)
unidades.
b) O ponto de inflexão ocorre em (isto é, investimento de R$
), onde a concavidade de
muda de para cima para para baixo; esse valor marca a transição entre retornos de investimento crescentes e retornos decrescentes.
b) O ponto de inflexão ocorre em