VENDAS Uma empresa estima que, se x milhares de reais forem investidos na comercialização de certo produto, S(x) unidades do produto serão vendidas, em que
S(x)=-x^{3}+33 x^{2}+60 x+1.000
a. Quantas unidades serão vendidas se a empresa não investir em comercialização?
b. Desenhe o gráfico de S(x). Para que valor de x o gráfico possui um ponto de inflexão? Qual é o significado desse valor de investimento?

Passo 1

O enunciado fornece a função de vendas
S(x) = -x^{3} + 33x^{2} + 60x + 1000,
onde x (em milhares de reais) é o valor investido em comercialização e S(x) é o número de unidades vendidas.
a) Pede-se S(0).
b) Pede-se um esboço do gráfico de S(x), o valor de x para o qual há ponto de inflexão, e o significado desse valor de investimento.

Passo 2

Para a alínea (a), basta calcular
S(0) = -(0)^{3} + 33\cdot 0^{2} + 60\cdot 0 + 1000 = 1000.
Logo, sem investimento a empresa vende 1000 unidades.

Passo 3

Para encontrar o ponto de inflexão, precisamos da segunda derivada de S. Primeiro obtenha a derivada primeira:
S'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{3} + 33x^{2} + 60x + 1000\bigr) = -3x^{2} + 66x + 60.
Em seguida, a derivada segunda:
S''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2} + 66x + 60\bigr) = -6x + 66.

Passo 4

O ponto de inflexão ocorre onde S''(x)=0. Assim,
-6x + 66 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 11.
Para ter a ordenada do ponto de inflexão, calcule S(11):
S(11) = -(11)^{3} + 33\cdot(11)^{2} + 60\cdot 11 + 1000 = -1331 + 3993 + 660 + 1000 = 4322.
Portanto o ponto de inflexão é \bigl(11,\,4322\bigr).

Passo 5

Esboço qualitativo de S(x):
  • É um polinômio de grau 3 com coeficiente líder negativo, logo tende a -\infty para x\to+\infty.
  • Para x pequeno, S cresce com concavidade para cima até o ponto de inflexão em x=11.
  • Após x=11, S continua crescendo (mas agora com concavidade para baixo) até atingir um máximo local em x\approx22{,}88, e depois decresce.
O valor x=11 (isto é, investimento de R$ 11000) é o ponto em que a taxa marginal de vendas deixa de crescer de forma acelerada e passa a crescer de forma desacelerada. Antes desse investimento, cada mil reais adicionais geram ganhos de vendas cada vez maiores; depois desse valor, há retornos marginalmente decrescentes.

Resposta

a) 1000 unidades.
b) O ponto de inflexão ocorre em x=11 (isto é, investimento de R$ 11000), onde a concavidade de S muda de para cima para para baixo; esse valor marca a transição entre retornos de investimento crescentes e retornos decrescentes.

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