(PUC-SP) Considere que os elementos da matriz coluna, solução da equação matricial seguinte, são termos da matriz quadrada A=(xij)2 times 2.
[llll1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0] cdot[lx11 x12 x21 x22]=[l3 3 1 6]
Se o determinane de A é igual a k, então o número de soluções da equação tg kx4=-1, para -2 pi<x<2 pi, é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema matricial que envolve os quatro incógnitos x11,x12,x21,x22. Esses valores formam a matriz quadrada
A = x11&x12[6pt]x21&x22
Precisamos (1) resolver o sistema para achar cada xij, (2) calcular k = det A e (3) contar as soluções da equação
tan!(tfrackx4)=-1
no intervalo -2pi < x < 2pi. Usaremos técnica de substituição para o sistema, fórmula do determinante de 2times 2 e solução geral de tanalpha = 1.]

Passo 2

Escrevendo as 4 equações:
1. x11+x12=3 2. x21+x22=3 3. x11+x22=1 4. x11+x21=6
Da ( 1) vem x12=3-x11.
Da ( 4) vem x21=6-x11.
Da ( 3) vem x22=1-x11.
Substituindo essas em ( 2):
(6 - x11) + (1 - x11) = 3 ;Longrightarrow; 7 - 2x11 = 3 ;Longrightarrow; x11=2
Logo
x12=3-2=1, x21=6-2=4, x22=1-2=-1

Passo 3

A matriz é
A = 2 & 1 [3pt]4 & -1,
e o determinante de uma 2times 2 é
det A = 2cdot(-1) - 1cdot4 = -2 - 4 = -6
Portanto k = -6.]

Passo 4

Substituindo k em tan!l(tfrackx4r)=-1
tan!l(-tfrac6x4r) = -1 ;Longrightarrow; tan!l(-tfrac3x2r) = -1
Como tan(-theta)=-tantheta, isso equivale a
-tan!l(tfrac3x2r) = -1 ;Longrightarrow; tan!l(tfrac3x2r) = 1
A solução geral de tanalpha=1 é
alpha = pi4 + npi, ninZ,
portanto
3x2 = pi4 + npi ;Longrightarrow; x = 23l(pi4+npir) = pi6 + 2pi3,n

Passo 5

Queremos -2pi < x < 2pi. Logo
-2pi < pi6 + 2pi3n < 2pi
Subtraindo tfracpi6 e dividindo por tfrac2pi3>0, obtemos
-3,25 < n < 2,75 ;Longrightarrow; nin-3,-2,-1,0,1,2,
que são 6 valores inteiros.

Resposta

6 (alternativa c)

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