(ITA-SP) Considere as matrizes A in M4 times 4(R) e X, B in M4 times 1(R) :
A=[cccca & 1 & b & 1 b & 1 & a & 0 0 & 2 & 0 & 0 -a & 2 & b & 1] ; X=[cx y z w] e B=[cb1 b2 b3 b4].
a) Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equação matricial A X=B tenha solução única.
b) Se a^2-b^2=0, a neq 0 e B=[1124]^t, encontre X tal que A X=B.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
o vetor incógnita
e o vetor
Parte (a) pede para achar para quais a equação matricial tem solução única, ou seja, quando . Na parte (b) devemos assumir com e e resolver o sistema.

Passo 2

Calculamos det(A) expandindo pela terceira linha (que só tem 2 na coluna 2). Obtemos
det(A) = -2 ,det a & b & 1 b & a & 0 -,a & b & 1
e depois
det a & b & 1 b & a & 0 -,a & b & 1 = a,(acdot1-0cdot b);-;b,(bcdot1-0cdot(-a));+;1,(bcdot b - acdot(-a)) =2a^2
Logo
det(A) = -2cdot2a^2 = -4a^2

Passo 3

A equação AX=B tem solução única se, e somente se, det(A)neq0. Portanto o único requisito é
-4a^2neq0 Long<=ftrightarrow aneq0

Passo 4

Agora assuma
Da terceira equação vem imediatamente (y=1]. As demais tornam-se

Passo 5

Subtraindo a primeira da terceira equação obtemos
(-a x + b z + w);-;(a x + b z + w) = 2 - 0 Longrightarrow -2a x = 2 Longrightarrow x = -1a
Da segunda equação segue
b x + a z = 0 Longrightarrow a z = -b x Longrightarrow z = -b,xa = ba^2,
pois x=-1/a. Finalmente, da primeira equação
w = -l(a x + b zr) = -l(acdotl(-tfrac1ar) + bcdotba^2r) = -l(-1 + tfracb^2a^2r) = 0,
já que b^2=a^2.

Resposta

a) A equação AX=B tem solução única se, e só se,
aneq0
b) Se a^2-b^2=0, aneq0 e B=(1,1,2,4)^t, uma solução é
x = -1a, y = 1, z = ba^2, w = 0

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