Sendo I a matriz identidade de ordem 2, A=[rr1 & -1 1 & 1] e B=[ccraiz32 & 12 12 & -raiz32], considere as afirmativas a seguir:
  1. A+A^t=2 cdot 1
  2. det(A cdot B)=-raiz3
  3. B^2007=B
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
d) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
e) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 1 & -1[6pt]1 & 1 e B = tfracraiz32 & tfrac12[4pt]tfrac12 & -tfracraiz32
e pede para verificar as afirmativas:
1. A + A^t = 2I. det(A B) = -raiz3. B^2007 = B
Usaremos: propriedade de transposta, multiplicação de determinantes e potência de matriz com ordem 2.]

Passo 2

Para a afirmativa 1, calculemos
A^t = 1 & 1[4pt]-1 & 1, A + A^t = 1 & -1[4pt]1 & 1 +1 & 1[4pt]-1 & 1 =2 & 0[4pt]0 & 2 =2I
Logo, a afirmativa 1 é verdadeira.]

Passo 3

Para a afirmativa 2, usamos det(AB)=det(A)det(B). Primeiro
det(A)=1cdot1-(-1)cdot1=2
Depois
det(B) =raiz32l(-raiz32r)-12cdot12 =-34-14=-1
Assim det(AB)=2cdot(-1)=-2neq -raiz3. A afirmativa 2 é falsa.

Passo 4

Para a afirmativa 3, notamos que
B^2=a & b[4pt]b & -a^2 =a^2+b^2 & ab-ba[4pt]ba-ab & b^2+a^2 =1 & 0[4pt]0 & 1=I,
com a=tfracraiz32, b=tfrac12. Logo B tem ordem 2 e
B^2007 = B^2cdot1003+1 = (B^2)^1003,B = I^1003B = B
A afirmativa 3 é verdadeira.]

Passo 5

Das três afirmativas, apenas a 1 e a 3 são verdadeiras.

Resposta

c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

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