(PUC-PR) Com o objetivo de melhorar a produtividade das lavouras, um grupo de 600 produtores de uma determinada região resolveu investir no aumento da produção de alimentos nos próximos anos: 350 deles investiram em avanços na área de biotecnologia; 210 em uso correto de produtos para a proteção de plantas e 90 em ambos (avanços na área de biotecnologia e uso correto de produtos para a proteção de plantas). Com base nas informações acima, considere as seguintes afirmativas:
I. 260 produtores investiram apenas em avanços na área de biotecnologia.
II. 120 produtores investiram apenas em uso correto de produtos para a proteção de plantas.
III. 470 produtores investiram em avanços na área de biotecnologia ou uso correto de produtos para a proteção de plantas.
IV. 130 produtores não fizeram nenhum dos dois investimentos.
Está(ão) CORRETA(S) a(s) afirmativa(s):
a) I, II e III, apenas.
b) II e IV, apenas.
c) I e II, apenas.
d) I, II, III e IV.
e) I e III, apenas.

Passo 1

O enunciado informa que há 600 produtores e define dois investimentos: avanços em biotecnologia (conjunto B, com lvert Brvert=350) e uso correto de produtos para proteção de plantas (conjunto P, com lvert Prvert=210). A interseção desses investimentos é lvert Bcap Prvert=90. O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos finitos e o princípio da inclusão–exclusão.

Passo 2

Para achar quem investiu apenas em biotecnologia, usamos
lvert Bsetminus Prvert = lvert Brvert - lvert Bcap Prvert = 350 - 90 = 260
Logo, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Para achar quem investiu apenas em uso correto de produtos, fazemos
lvert Psetminus Brvert = lvert Prvert - lvert Bcap Prvert = 210 - 90 = 120
Dessa forma, a afirmativa II é verdadeira.

Passo 4

Para o total que investiu em pelo menos um dos dois, aplicamos o princípio da inclusão–exclusão:
lvert Bcup Prvert = lvert Brvert + lvert Prvert - lvert Bcap Prvert = 350 + 210 - 90 = 470
Isso confirma a afirmativa III.

Passo 5

Por fim, quem não fez nenhum investimento é o complemento de Bcup P em relação aos 600 produtores:
600 - lvert Bcup Prvert = 600 - 470 = 130
Portanto, a afirmativa IV também é verdadeira.

Passo 6

Como I, II, III e IV são todas verdadeiras, a resposta correta é a alternativa que engloba todas elas.

Resposta

(d) I, II, III e IV.

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