(PUC/PR-01) Em uma progressão geométrica infinitamente decrescente, cuja soma é igual a 9 e a soma dos quadrados de todos os seus termos é 40,5, o seu 4^{\circ} termo vale:
a) 3 / 8
b) 1 / 27
c) 5 / 32
d) 2 / 9

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão geométrica (PG) infinita decrescente cujo valor da soma de todos os termos é 9 e a soma dos quadrados de todos os termos é 40,5. Queremos encontrar o quarto termo dessa PG. Para isso vamos usar as fórmulas de soma de PG infinita e de soma de PG infinita de quadrados.

Passo 2

Sejam a o primeiro termo e r a razão da PG, com \lvert r\rvert<1.
A soma dos termos é
S = \frac{a}{1-r} = 9.
A soma dos quadrados dos termos é
S_2 = \frac{a^2}{1-r^2} = 40{,}5.

Passo 3

Da primeira equação isolamos a:
a = 9\,(1-r).
Substituindo em S_2:
\frac{\bigl[9(1-r)\bigr]^2}{1-r^2} = 40{,}5 \;\Longrightarrow\; \frac{81\,(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 40{,}5 \;\Longrightarrow\; 81\,\frac{1-r}{1+r} = 40{,}5.
Como 81/40{,}5=2, segue
2\,\frac{1-r}{1+r} = 1 \;\Longrightarrow\; 2 - 2r = 1 + r \;\Longrightarrow\; 3r = 1 \;\Longrightarrow\; r = \frac{1}{3}.

Passo 4

Calculamos agora a:
a = 9\,(1 - \tfrac{1}{3}) = 9\cdot \tfrac{2}{3} = 6.
O quarto termo é
t_4 = a\,r^3 = 6 \,\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^3 = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{9} (alternativa d) )

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