(FGV-04) Durante o último jogo da seleção brasileira, brinquei com meu primo, apostando quem conseguiria colocar mais pipocas na boca. Comecei colocando 2 na boca e fui aumentando r pipocas por vez, como em uma PA. Ele começou colocando 1 na boca e foi multiplicando por r , como numa PG. Na quarta vez em que colocamos pipocas na boca, descobrimos que a quantidade colocada por nós dois foi a mesma. Nessa nossa brincadeira, o valor de ré
a) um número quadrado perfeito.
b) um número maior que 3 .
c) um divisor de 15 .
d) um múltiplo de 3 .
e) um número primo.

Passo 1

O enunciado envolve uma progressão aritmética (PA) e uma progressão geométrica (PG) que usam o mesmo valor r. Na PA, o primeiro termo é 2 e a diferença comum é r. Na PG, o primeiro termo é 1 e a razão é r. Precisamos usar as fórmulas gerais
a_n = a_1 + (n-1)\,d
para a PA e
g_n = g_1\,r^{\,n-1}
para a PG, e igualar o quarto termo de cada uma.

Passo 2

O quarto termo da PA é
a_4 = 2 + 3r.
O quarto termo da PG é
g_4 = r^3.

Passo 3

Como foram iguais na quarta vez, escrevemos
2 + 3r = r^3.
Reescrevendo em forma polinomial,
r^3 - 3r - 2 = 0.

Passo 4

Buscamos raízes inteiras. Testando r=2:
2^3 - 3\cdot2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0.
Logo r=2 é raiz. Fatorando o polinômio:
r^3 - 3r - 2 = (r-2)(r^2 + 2r + 1) = (r-2)(r+1)^2.
As soluções são r=2 e r=-1 (dupla). Descartamos r=-1 por não fazer sentido físico neste contexto. Assim, r=2.

Passo 5

Verificando as afirmativas:
2 não é quadrado perfeito, não é maior que 3, não divide 15, nem é múltiplo de 3, mas é primo.

Resposta

e) um número primo.

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