(Cefet/PR-04) Sejam uma PA e uma PG com três termos reais. A soma da PG adicionada à soma da PA é igual a 2. Sabe-se que suas razões são iguais ao primeiro termo da PG e que o primeiro termo da PA é igual a 2. A razão será igual a:
a) -1
b) 2
c) -2
d) 1
e) 4

Passo 1

Resumindo: temos uma progressão aritmética (PA) e uma progressão geométrica (PG), cada uma com três termos reais. Vamos chamar de a o primeiro termo da PA, de d sua razão, de g o primeiro termo da PG e de r sua razão. Precisamos usar as fórmulas de soma dessas progressões e as condições dadas para achar a razão comum, que é a mesma para ambas.

Passo 2

Fórmulas de soma:
S_{\text{PA}} = a + (a+d) + (a+2d) = 3a + 3d,
S_{\text{PG}} = g + gr + gr^2 = g\,(1 + r + r^2).
Condições do enunciado:
  1. As razões valem o primeiro termo da PG, logo
d = g \quad\text{e}\quad r = g.
  1. O primeiro termo da PA é 2, ou seja,
a = 2.

Passo 3

Substituindo a=2, d=g e r=g nas somas:
S_{\text{PA}} = 3\cdot2 + 3g = 6 + 3g,
S_{\text{PG}} = g + g^2 + g^3.
Como a soma da PG adicionada à soma da PA é 2,
(g + g^2 + g^3) + (6 + 3g) = 2.

Passo 4

Simplificando a equação:
g^3 + g^2 + g + 3g + 6 = 2 \;\Longrightarrow\; g^3 + g^2 + 4g + 4 = 0.
Fatorando:
(g + 1)(g^2 + 4) = 0.
Como queremos termos reais, descartamos as raízes complexas de g^2 + 4 = 0 e ficamos com
g = -1.

Resposta

a) -1

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