(PUC-MG) Sabe-se que, em um triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados. Uma afirmativa equivalente a essa é:
a) A menor distância entre dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta que os une.
b) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior dos lados.
c) Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo.
d) Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento.
a) A menor distância entre dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta que os une.
b) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior dos lados.
c) Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo.
d) Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento.
Passo 1
O enunciado trata da desigualdade triangular em qualquer triângulo, ou seja, para os comprimentos dos lados
vale simultaneamente
Precisamos identificar qual das afirmativas dadas é equivalente a essa propriedade.
Passo 2
Analisando as alternativas:
- a) “A menor distância entre dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta que os une.”
Isso refere-se à definição de distância mínima no plano, mas não expressa a condição estritapara todos os lados de um triângulo. - b) “Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior dos lados.”
É um caso particular (só para triângulos retângulos) e decorre do Teorema de Pitágoras, não da desigualdade triangular geral. - d) “Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento.”
É uma propriedade específica de triângulos isósceles, sem relação de equivalência com a afirmaçãoem triângulos arbitários.
Portanto, nenhuma dessas (a, b ou d) exprime exatamente a desigualdade triangular em geral.
Passo 3
A alternativa c) diz:
“Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo.”
Para ver que isso é equivalente à desigualdade triangular, usamos a lei dos senos:
“Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo.”
Para ver que isso é equivalente à desigualdade triangular, usamos a lei dos senos:
onde
é o raio do círculo circunscrito e
são os ângulos opostos a
. Como
é estritamente crescente em
, temos
Isso mostra que menor lado implica menor ângulo oposto, e a recíproca também vale. Essa ordenação entre lados e ângulos resulta logicamente da soma dos ângulos ser
e, portanto, é equivalente à condição de existência de triângulo expressa por
.
Resposta
c) Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo.