(PUC-MG) Sabe-se que, em um triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados. Uma afirmativa equivalente a essa é:
a) A menor distância entre dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta que os une.
b) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior dos lados.
c) Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo.
d) Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento.

Passo 1

O enunciado trata da desigualdade triangular em qualquer triângulo, ou seja, para os comprimentos dos lados a,b,c vale simultaneamente
a < b + c, b < a + c, c < a + b
Precisamos identificar qual das afirmativas dadas é equivalente a essa propriedade.

Passo 2

Analisando as alternativas:
  • a) “A menor distância entre dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta que os une.”
    Isso refere-se à definição de distância mínima no plano, mas não expressa a condição estrita a<b+c para todos os lados de um triângulo.
  • b) “Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior dos lados.”
    É um caso particular (só para triângulos retângulos) e decorre do Teorema de Pitágoras, não da desigualdade triangular geral.
  • d) “Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento.”
    É uma propriedade específica de triângulos isósceles, sem relação de equivalência com a afirmação a<b+c em triângulos arbitários.
Portanto, nenhuma dessas (a, b ou d) exprime exatamente a desigualdade triangular em geral.

Passo 3

A alternativa c) diz:
“Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo.”
Para ver que isso é equivalente à desigualdade triangular, usamos a lei dos senos:
asin(alpha) ;=;bsin(beta);=;2R,
onde R é o raio do círculo circunscrito e alpha,beta são os ângulos opostos a a,b. Como sin é estritamente crescente em (0,pi), temos
a < b ;iff; sin(alpha)<sin(beta);iff;alpha<beta
Isso mostra que menor lado implica menor ângulo oposto, e a recíproca também vale. Essa ordenação entre lados e ângulos resulta logicamente da soma dos ângulos ser pi e, portanto, é equivalente à condição de existência de triângulo expressa por a<b+c.

Resposta

c) Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo.

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