(PUC-MG) A soma dos algarismos de um número natural n, 10^3<n<10^4, é 21 . Além disso, seu algarismo das centenas é igual à soma do algarismo das unidades com o algarismo das unidades de milhar. Com base nessas informações, examine cada uma das três afirmativas a seguir:
I. O número n é um múltiplo de 3 .
II. Pelo menos um algarismo de n é ímpar.
III. O algarismo das dezenas de n é par.

Passo 1

Resumindo, seja n o número de quatro algarismos
n=a,b,c,d,
onde a,b,c,d são os dígitos das unidades de milhar, centenas, dezenas e unidades, respectivamente. Pelas condições do enunciado temos:
  1. a+b+c+d=21.
  2. b=a+d.
    Precisamos verificar quais das afirmações abaixo são sempre verdadeiras:
    I. n é múltiplo de 3.
    II. Pelo menos um algarismo de n é ímpar.
    III. c (o dígito das dezenas) é par.

Passo 2

Para I, usamos o teste de divisibilidade por 3: um número é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus dígitos for múltiplo de 3. Aqui
a+b+c+d = 21,
e 21 é múltiplo de 3. Logo, qualquer n que satisfaça as condições é múltiplo de 3. Portanto I é verdadeira.

Passo 3

Para II, suponha, por absurdo, que todos os dígitos fossem pares ( 0,2,4,6,8). A soma de quatro números pares é sempre par, mas sabemos que
a+b+c+d = 21
é ímpar. Contradição. Logo não é possível ter todos os dígitos pares e necessariamente pelo menos um dígito é ímpar. Assim II é verdadeira.

Passo 4

Para III, usamos a relação b=a+d. Da soma dos dígitos,
a + b + c + d =21 Longrightarrow a + (a+d) + c + d =21 Longrightarrow 2a + 2d + c =21 Longrightarrow c = 21 - 2(a+d)
Como 2(a+d) é par, 21-2(a+d) é ímpar. Portanto c é sempre ímpar, o que mostra que c não pode ser par. Assim III é falsa.

Resposta

I e II são verdadeiras; III é falsa.

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